ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-03-10   
Шарик массы $m$ подвешен на пружине жесткости $k$ (пружинный маятник). Точка подвеса пружины совершает вертикальные гармонические колебания с амплитудой $a$ и частотой $\omega$. Как движется шарик при установившихся колебаниях?


Решение:



На рис. показано положение системы в некоторый момент времени $t$. Точка О — положение равновесия точки подвеса; $x$ - отклонение шарика от положения равновесия, при котором длина пружины равна $l_{0} + mg/k$ ($l_{0}$ - длина пружины в нерастянутом состоянии). Запишем уравнение движения шарика:

$mg - k \Delta x = mx^{ \prime \prime}$.

Подставив $\Delta x = \frac{mg}{k} + x + a \sin \omega t$ (полное удлинение пружины), получим

$mx^{ \prime \prime} + kx = -ka \sin \omega t$. (1)

Вынужденные колебания шарика происходят с частотой вынуждающей силы, т. е. с частотой $\omega$. В установившемся режиме coбственные колебания, частота которых $\omega_{0} = \sqrt{k/m}$, отсутствуют. Будем искать решение (1) в виде

$x = A \sin \omega t + B \cos \omega t$, (2)

где $A$ и $B$ - некоторые постоянные коэффициенты, которые нужно определить, Взяв дважды производную от (2) и подставив в (1), получим

$(- A \omega^{2} m + kA) \sin \omega t +( - B \omega^{2} m \cos \omega t + kB ) \cos \omega t = -ka \sin \omega t$. (3)

Это равенство должно выполняться в любой момент времени. Взяв $t_{1} = 0$ и $t_{2} = \pi /2$, найдем

$A = \frac{ka}{ \omega^{2} m - k } = \frac{a}{ \frac{ \omega^{2} }{ \omega_{0}^{2} } - 1 } $,
$B = 0$.

Подставив найденные значения $A$ и $B$ в (2), получим

$x = \frac{a \sin \omega t}{ \omega^{2} \omega_{0}^{2} - 1 }$.