Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6598
2018-03-10 
Шарнирная конструкция из легких звеньев $AB = AC = \frac{1}{2} BF = \frac{1}{2} CE = FG = EG$ закреплена в точках A и G (рис.). Между точками В и С и Е и F вставлены легкие пружины жесткости $k$, так что в положении равновесия все углы конструкции прямые и пружины недеформированы. В точке D надето небольшое колечко массой $m$. Найти период малых колебаний системы, при которых колечко движется перпендикулярно пружинам. Силой тяжести пренебречь.
Решение:
Пусть колечко совершает колебания в плоскости рисунка вдоль оси Ох (рис.) и система характеризуется полной энергией $E_{0}$. Рассмотрим промежуточное положение колечка, когда оно смещено вправо от положения равновесия на величину $x$ и имеет скорость $v$. Учитывая, что в положении равновесия все углы конструкции прямые, а смещения колечка малые, левая пружина при этом сократилась на величину $2x$ и имеет запас упругой энергии $k(2x)^{2}/2$, а правая удлинилась на величину $2x$ и также имеет такой же запас упругой энергии. Действительно, из-за нерастяжимости звеньев, при малых смещениях точки D, вершины В и С приближаются к оси Ох на расстояние $x$ каждая, поэтому левая пружина сокращается на величину $2x$. (То же самое касается и поведения пружины, соединяющей вершины Е и F.). Закон сохранения энергии системы запишем в виде
$E_{0} = \frac{mv^{2} }{2} + 2 \frac{k (2x)^{2} }{2}$.
Найдем первую производную по времени этого соотношения
$0 = amv + 8kvx$,
где $a = \frac{dv}{dt}$ - ускорение колечка, $v = \frac{dx}{dt}$.
Разделим левую и правую части полученного уравнения на отличную от нуля скорость $v$ (мы «застали» систему в ее промежуточном положении):
$ma + 8kx = 0$.
Получаем уравнение гармонических колебаний, частота $\omega_{0}$ которых равна
$\omega_{0}^{2} = 8k/m$.
Период соответствующих колебаний системы $T_{0}$ получим в виде
$T_{0} = 2 \pi \sqrt{m/8k} = \pi \sqrt{m/2k}$.
Шарнирная конструкция из легких звеньев $AB = AC = \frac{1}{2} BF = \frac{1}{2} CE = FG = EG$ закреплена в точках A и G (рис.). Между точками В и С и Е и F вставлены легкие пружины жесткости $k$, так что в положении равновесия все углы конструкции прямые и пружины недеформированы. В точке D надето небольшое колечко массой $m$. Найти период малых колебаний системы, при которых колечко движется перпендикулярно пружинам. Силой тяжести пренебречь.
Решение:
Пусть колечко совершает колебания в плоскости рисунка вдоль оси Ох (рис.) и система характеризуется полной энергией $E_{0}$. Рассмотрим промежуточное положение колечка, когда оно смещено вправо от положения равновесия на величину $x$ и имеет скорость $v$. Учитывая, что в положении равновесия все углы конструкции прямые, а смещения колечка малые, левая пружина при этом сократилась на величину $2x$ и имеет запас упругой энергии $k(2x)^{2}/2$, а правая удлинилась на величину $2x$ и также имеет такой же запас упругой энергии. Действительно, из-за нерастяжимости звеньев, при малых смещениях точки D, вершины В и С приближаются к оси Ох на расстояние $x$ каждая, поэтому левая пружина сокращается на величину $2x$. (То же самое касается и поведения пружины, соединяющей вершины Е и F.). Закон сохранения энергии системы запишем в виде
$E_{0} = \frac{mv^{2} }{2} + 2 \frac{k (2x)^{2} }{2}$.
Найдем первую производную по времени этого соотношения
$0 = amv + 8kvx$,
где $a = \frac{dv}{dt}$ - ускорение колечка, $v = \frac{dx}{dt}$.
Разделим левую и правую части полученного уравнения на отличную от нуля скорость $v$ (мы «застали» систему в ее промежуточном положении):
$ma + 8kx = 0$.
Получаем уравнение гармонических колебаний, частота $\omega_{0}$ которых равна
$\omega_{0}^{2} = 8k/m$.
Период соответствующих колебаний системы $T_{0}$ получим в виде
$T_{0} = 2 \pi \sqrt{m/8k} = \pi \sqrt{m/2k}$.
