Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6597
2018-03-10 
Длинные сани с грузом, едущие по льду, попадают на участок, посыпанный песком, и, не пройдя и половины своей длины, останавливаются. После этого им резким толчком сообщают первоначальную скорость. Найти отношение путей и времен торможения.
Решение:
Для решения задачи запишем уравнение движения саней для момента времени, когда на песок въехала их часть длиной $x$. Так как на сани в горизонтальном направлении действует только сила трения $F_{тр} = - \frac{mg}{l} x \mu$, где $l$ - длина саней, $\mu$ - коэффициент трения саней о песок, то
$ma = - \frac{mg}{l} x \mu, a + \frac{g \mu}{l} x = 0$.
Учитывая решение задачи 6596, получим
$x(t) = \frac{v_{0} }{ \omega} \sin \omega t$,
где $\omega = \sqrt{g \mu/l}$. Время до первой остановки $t_{1}$ найдем по формуле
$t_{1} = \pi /2 \omega$,
путь торможения будет равен $x_{0} = v_{0}/ \omega$.
Для рассмотрения второй фазы движения саней (после того, как их толкнули) прибегнем к следующему приему. Предположим, что на песок сани въехали со скоростью $v_{1}$, такой, что после преодоления по песку расстояния $x_{0}$ их скорость упала до $v_{0}$. Тогда в этот момент времени $t^{*}$
$v_{0} = v_{1} \cos \omega t^{*}, x_{0} = \frac{v_{1} }{ \omega} \sin \omega t^{*}$,
Откуда
$\left ( \frac{v_{0} }{v_{1} } \right )^{2} + \left ( \frac{x_{0} \omega }{v_{1} } \right )^{2} = 1$,
или
$v_{1}^{2} = v_{0}^{2} + ( \omega x_{0} )^{2}$.
Кроме того,
$tg \omega t^{*} = \frac{x_{0} \omega }{v_{1} } + \frac{v_{1} }{v_{0} } = x_{0}$,
поэтому $\omega t^{*} = \pi /4$ или $t^{*} = \pi /4 \omega$. Время движения саней после подталкивания
$t_{2} = \frac{ \pi }{2 \omega} - t^{*} = \frac{ \pi}{4 \omega} = \frac{t_{1} }{2}$,
откуда
$\frac{t_{2} }{t_{1} } = \frac{1}{2}$.
Полный путь торможения саней будет равен $x_{1} = \frac{v_{1} }{ \omega} = \sqrt{ x_{0}^{2} + \left ( \frac{v_{0} }{ \omega} \right )^{2} }$, поэтому для второй фазы движения путь торможения саней найдем по формуле
$x_{2} = x_{1} - x_{0} = \sqrt{2} x_{0} - x_{0} = x_{0} ( \sqrt{2} - 1)$,
откуда
$\frac{x_{2} }{x_{1} } = \sqrt{2} - 1$.
Длинные сани с грузом, едущие по льду, попадают на участок, посыпанный песком, и, не пройдя и половины своей длины, останавливаются. После этого им резким толчком сообщают первоначальную скорость. Найти отношение путей и времен торможения.
Решение:
Для решения задачи запишем уравнение движения саней для момента времени, когда на песок въехала их часть длиной $x$. Так как на сани в горизонтальном направлении действует только сила трения $F_{тр} = - \frac{mg}{l} x \mu$, где $l$ - длина саней, $\mu$ - коэффициент трения саней о песок, то
$ma = - \frac{mg}{l} x \mu, a + \frac{g \mu}{l} x = 0$.
Учитывая решение задачи 6596, получим
$x(t) = \frac{v_{0} }{ \omega} \sin \omega t$,
где $\omega = \sqrt{g \mu/l}$. Время до первой остановки $t_{1}$ найдем по формуле
$t_{1} = \pi /2 \omega$,
путь торможения будет равен $x_{0} = v_{0}/ \omega$.
Для рассмотрения второй фазы движения саней (после того, как их толкнули) прибегнем к следующему приему. Предположим, что на песок сани въехали со скоростью $v_{1}$, такой, что после преодоления по песку расстояния $x_{0}$ их скорость упала до $v_{0}$. Тогда в этот момент времени $t^{*}$
$v_{0} = v_{1} \cos \omega t^{*}, x_{0} = \frac{v_{1} }{ \omega} \sin \omega t^{*}$,
Откуда
$\left ( \frac{v_{0} }{v_{1} } \right )^{2} + \left ( \frac{x_{0} \omega }{v_{1} } \right )^{2} = 1$,
или
$v_{1}^{2} = v_{0}^{2} + ( \omega x_{0} )^{2}$.
Кроме того,
$tg \omega t^{*} = \frac{x_{0} \omega }{v_{1} } + \frac{v_{1} }{v_{0} } = x_{0}$,
поэтому $\omega t^{*} = \pi /4$ или $t^{*} = \pi /4 \omega$. Время движения саней после подталкивания
$t_{2} = \frac{ \pi }{2 \omega} - t^{*} = \frac{ \pi}{4 \omega} = \frac{t_{1} }{2}$,
откуда
$\frac{t_{2} }{t_{1} } = \frac{1}{2}$.
Полный путь торможения саней будет равен $x_{1} = \frac{v_{1} }{ \omega} = \sqrt{ x_{0}^{2} + \left ( \frac{v_{0} }{ \omega} \right )^{2} }$, поэтому для второй фазы движения путь торможения саней найдем по формуле
$x_{2} = x_{1} - x_{0} = \sqrt{2} x_{0} - x_{0} = x_{0} ( \sqrt{2} - 1)$,
откуда
$\frac{x_{2} }{x_{1} } = \sqrt{2} - 1$.
