Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6588
2018-03-10 
Космический аппарат представляет собой жесткую тонкостенную сферу радиуса $R = 2 м$, наполненную газом. Внутри аппарата находится шар радиуса $r = R/2$, наполненный тем же газом, что и весь аппарат, но при большем давлении. Шар касается внутренней поверхности аппарата. В результате повреждения шар лопнул. Найти, во сколько раз изменилось давление внутри аппарата, если оказалось, что весь аппарат при этом сместился на расстояние $a = 0,5 м$. Массой оболочек пренебречь; температуру считать неизменной.
Решение:
При изменениях, происходящих внутри аппарата, положения центра масс (ц. м.) О аппарата с содержимым не меняется.
В начальный момент ц. м. аппарата определяется как ц. м. системы «шар с плотностью $\rho_{1}$ + шар с плотностью $\rho_{2} - \rho_{1}$», где $\rho_{1}$ - плотность газа, заполняющего сферу радиуса $R, \rho_{2}$ - плотность газа, заполняющего шар радиуса $R/2$.
После того как лопнул шар, ц. м. аппарата определяется как ц. м. сферы радиуса $R$, заполненной газом с плотностью $\rho$, где $\rho$—плотность газа в сфере после повреждения шара.
Тот факт, что после повреждения шара весь аппарат сместился на расстояние $a$, означает, что ц. м. аппарата с целым шаром находился на расстоянии $a$ от центра сферы (рис.). Из этого условия найдем соотношение между $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$:
$\frac{4}{3} \pi R^{3} \rho_{1} ag = \frac{4}{3} \pi \frac{R^{3} }{8} ( \rho_{2} - \rho_{1} ) \left ( \frac{R}{2} - a \right )g$.
т. е.
$\frac{ \rho_{2}} { \rho_{1} } = \frac{R + 14a}{R - 2a}$.
Плотность газа в аппарате, после того как лопнул шар, определяется условием
$\frac{4}{3} \pi R^{3} \rho_{1} + \frac{4}{3} \pi \frac{R^{3} }{8} ( \rho_{2} - \rho_{1} ) = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho$
и
$\rho = \frac{7}{8} \rho_{1} + \frac{1}{8} \rho_{2}$.
Давление $P$ газа в аппарате после повреждения шара может быть найдено из условия $\frac{P}{P_{1} } = \frac{ \rho }{ \rho_{1} }$, где $P_{1}$ - начальное давление газа внутри тонкостенной сферы. Таким образом,
$\frac{P}{P_{1} } = \frac{ \rho}{ \rho_{1} } = \frac{7}{8} + \frac{1}{8} \frac{ \rho_{2} }{ \rho_{1} } = \frac{R}{R - 2a} = 2$,
т. е. давление газа внутри аппарата увеличилось в 2 раза.
Космический аппарат представляет собой жесткую тонкостенную сферу радиуса $R = 2 м$, наполненную газом. Внутри аппарата находится шар радиуса $r = R/2$, наполненный тем же газом, что и весь аппарат, но при большем давлении. Шар касается внутренней поверхности аппарата. В результате повреждения шар лопнул. Найти, во сколько раз изменилось давление внутри аппарата, если оказалось, что весь аппарат при этом сместился на расстояние $a = 0,5 м$. Массой оболочек пренебречь; температуру считать неизменной.
Решение:
При изменениях, происходящих внутри аппарата, положения центра масс (ц. м.) О аппарата с содержимым не меняется.
В начальный момент ц. м. аппарата определяется как ц. м. системы «шар с плотностью $\rho_{1}$ + шар с плотностью $\rho_{2} - \rho_{1}$», где $\rho_{1}$ - плотность газа, заполняющего сферу радиуса $R, \rho_{2}$ - плотность газа, заполняющего шар радиуса $R/2$.
После того как лопнул шар, ц. м. аппарата определяется как ц. м. сферы радиуса $R$, заполненной газом с плотностью $\rho$, где $\rho$—плотность газа в сфере после повреждения шара.
Тот факт, что после повреждения шара весь аппарат сместился на расстояние $a$, означает, что ц. м. аппарата с целым шаром находился на расстоянии $a$ от центра сферы (рис.). Из этого условия найдем соотношение между $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$:
$\frac{4}{3} \pi R^{3} \rho_{1} ag = \frac{4}{3} \pi \frac{R^{3} }{8} ( \rho_{2} - \rho_{1} ) \left ( \frac{R}{2} - a \right )g$.
т. е.
$\frac{ \rho_{2}} { \rho_{1} } = \frac{R + 14a}{R - 2a}$.
Плотность газа в аппарате, после того как лопнул шар, определяется условием
$\frac{4}{3} \pi R^{3} \rho_{1} + \frac{4}{3} \pi \frac{R^{3} }{8} ( \rho_{2} - \rho_{1} ) = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho$
и
$\rho = \frac{7}{8} \rho_{1} + \frac{1}{8} \rho_{2}$.
Давление $P$ газа в аппарате после повреждения шара может быть найдено из условия $\frac{P}{P_{1} } = \frac{ \rho }{ \rho_{1} }$, где $P_{1}$ - начальное давление газа внутри тонкостенной сферы. Таким образом,
$\frac{P}{P_{1} } = \frac{ \rho}{ \rho_{1} } = \frac{7}{8} + \frac{1}{8} \frac{ \rho_{2} }{ \rho_{1} } = \frac{R}{R - 2a} = 2$,
т. е. давление газа внутри аппарата увеличилось в 2 раза.
