Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6585
2018-03-10 
Однородная балка подвешена к потолку за края и середину при помощи нитей равной длины. Две нити — одинаковые, а третья (привязанная к одному из краев) - двойная. Во сколько раз отличаются натяжения одинаковых нитей?
Решение:
Модели, которые мы выбираем.
Для анализа физических явлений мы всегда пользуемся моделями, упрощая и идеализируя реальную ситуацию. Ясно, что в каждом конкретном случае нужно отразить в модели все важные для данной задачи детали и отбросить все лишние (этот совет, как и многие другие, легче давать, чем ему следовать). Поэтому при выборе модели следует оценить, хотя бы приблизительно, действие факторов, которые мы хотим отбросить, и посмотреть, как скажутся сделанные нами допущения и упрощения на точности получаемого решения задачи.
Рассмотрим пример: спортсмен толкает ядро с высоты $h = 1,5 м$ под углом $\beta = 40^{ \circ}$ к горизонту со скоростью $v = 12 м/с$. Найти дальность полета ядра.
Выберем модель: плоская невращающаяся Земля, воздуха нет, нет также Солнца и Луны. Оценим воздействие отброшенных факторов.
Солнце: дает поправку к ускорению свободного падения $\Delta g_{1} = \omega_{1}^{2} R_{1}$, где $\omega_{1} = 2 \pi /1 год$, $R_{1} = 150 млн км$; $\Delta g_{1} \leq 10^{-2} м/с^{-2} \approx 10^{-3} g$. На самом деле эта поправка намного меньше — ведь сила со стороны Солнца действует и на Землю, сообщая ей почти такое же ускорение. Луна дает примерно такую же поправку (вспомним приливы).
Сопротивление воздуха: сила лобового сопротивления $F_{сопр} = \alpha s v^{2}$. Величину $\alpha$ приблизительно можно оценить, зная скорость выпадения града $v_{г} \approx 20 м/с$ при $r_{г} \approx 0,5 см$:
$\alpha \pi r_{г}^{2} = m_{г}g = \rho_{г} \frac{4}{3} \pi r_{г}^{3} g$,
отсюда
$\alpha = \frac{4 \rho_{г} r_{г}g }{3 v_{г}^{2} }$.
Для ядра скорость $v_{я}$, при которой сила лобового сопротивления воздуха равна силе тяжести, определяется условием
$v_{я0} = v_{г} \sqrt{ \frac{ \rho_{я}r_{я} }{ \rho_{г} r_{г} }} \approx 200 м/с$.
Значит, для данной в условии скорости $F_{сопр} = mg \left ( \frac{12}{220} \right )^{2} \approx 3 \cdot 10^{-3} mg$ (отметим, что при таких скоростях сила вязкого трения больше, чем лобового, однако она также невелика). Архимедова сила
$F_{A} = \frac{ \rho_{возд}}{ \rho_{я}} mg \approx 10^{-3} mg$.
Поправка к ускорению свободного падения из-за вращения Земли
$\Delta g_{2} = \omega_{2}^{2} R_{2}$,
где $\omega = 2 \pi /1 сутки, R_{2} = 6,3 \cdot 10^{6} \cos \phi$ ($\phi$ — широта местности). На экваторе $\Delta g_{2} \leq 3 \cdot 10^{-3} g$.
Цифры в задаче заданы «круглые»; из простых практических соображений ясно, что требуемая погрешность уж никак не лучше 3—5 %. Значит, все перечисленные поправки несущественны и модель наша вполне разумна. Решение задачи совсем простое, мы его не приводим.
Возможны, однако, ситуации, когда даже небольшие поправки могут оказать решающее воздействие на результат. Это может произойти, например, если мы заинтересуемся различиями в движении нескольких тел. Рассмотрите самостоятельно такой вопрос: попадет ли вертикально выстреленный снаряд назад в ствол орудия?
Модель может оказаться и совсем неприменимой, если она не отражает существенных черт явления. Например, модель абсолютно твердого тела для описания удара абсолютно неприменима —важную роль при ударе играют деформации, а абсолютно твердое тело не деформируется. Еще пример: часто пренебрегают индуктивностью проводников (или —что то же самое — энергией магнитного поля, возникающего вокруг проводника при пропускании по нему тока); однако в известной задаче про конденсатор, который после зарядки закорачивают проводником, нельзя одновременно пренебрегать сопротивлением проводника и его индуктивностью — если сопротивление очень мало, то ток получается весьма большим, и даже при малой индуктивности энергия магнитного поля оказывается существенной. Простой анализ показывает, что индуктивностью в этой задаче действительно можно пренебречь, только если выполняется условие $L \ll R^{2}C$.
Очень часто при использовании «плохой» модели концы не сходятся с концами — куда-то девается (или появляется) энергия, не хватает уравнений для решения задачи и т. п. Это всегда должно настораживать!
Разберем полезный пример: на двух нитях подвешена однородная балка. Требуется найти силы натяжения нитей.
Задача эта очень просто решается: нити будем считать нерастяжимыми, составим уравнения равновесия, т. е. запишем условия равенства сил и моментов сил, — и неизвестные величины сразу определятся.
Добавим теперь еще одну нить и придем к рассматриваемой в задаче ситуации. Сразу появляются неприятности—не хватает Уравнений. В чем дело?
Причина тут довольно серьезная—не годится модель. В случае двух нитей она подходила—малые растяжения нитей были несущественны, они приводили лишь к тому, что балка чуть криво висела, а силы при этом практически не менялись. Если же нитей три, положение совсем другое. Чуть ослабим одну нить—вся нагрузка сразу придется на две другие. Значит, малые растяжения существенны и модель «нерастяжимые нити» не годится. (Ведь можно пренебрегать каким-то фактором, только убедившись, что его влияние пренебрежимо мало.)
Положение легко поправить—нужно задать коэффициенты жесткости нитей (можно одинаковые, если их длины одинаковы) и из геометрических соображений найти связь между удлинениями нитей, а значит, и между силами натяжения. Это и будет недостающее уравнение.
Сделаем чертеж, сильно увеличив для наглядности деформации нитей (рис.). Уравнение для сил
$T_{1} + T_{2} + 2T_{3} = Mg$.
Моменты относительно центра тяжести:
$T_{1} \frac{l}{2} = 2T_{3} \frac{l}{2}$. (2)
Еще одно уравнение получим из геометрических соображений:
$\frac{ \Delta l_{1} - \Delta l_{3} }{ \Delta l_{2} - \Delta l_{3} } = \frac{l}{l/2} = 2$. (3)
Если нити одинаковые, то
$T_{1} = k \Delta l_{1}, T_{2} = k \Delta l_{2}, T_{3} = k \Delta l_{3}$
и тогда уравнение (3) можно переписать так:
$\frac{T_{1} - T_{3}} { T_{2} - T_{3} } = 2$.
Решая эту систему, получим
$T_{1} = \frac{4}{11} Mg, T_{2} = \frac{3}{11} Mg, T_{3} = \frac{2}{11} Mg$.
Системы такого рода называют «статически неопределимыми»; имеется в виду необходимость к уравнениям сил и моментов — уравнениям статики —добавлять уравнения, характеризующие физические свойства тел (например, жесткость). Статически неопределимые задачи встречаются не так уж редко. Например, задача о распределении сил давления на кирпич, лежащий на наклонной плоскости. Она похожа на только что рассмотренную, только опор не три, а очень много. Малейшая неровность на основании кирпича кардинально меняет результат — кирпич нельзя считать абсолютно твердым телом.
Особенно каверзными бывают задачи, в которых взаимодействуют много тел и при этом есть трение. Один пример: известная задача про песок, насыпанный в кузов автомобиля.
В кузов автомобиля (размеры заданы) насыпают доверху песок. Заданы: плотность песка, коэффициент трения. Найти силу, действующую на боковую стенку кузова (борт грузовика).
Давление на стенку кузова зависит и от того, как мы насыпали песок, и от того, как именно движется автомобиль (напомним тем, кто давно не ездил в кузове грузового автомобиля, что даже при движении с постоянной скоростью кузов сильно трясет). Из-за непрерывных толчков в разные стороны сухой песок постоянно перемешивается, при этом силы трения между песчинками все время меняют направление. В среднем при этом действие сил трения компенсируется, и песок напоминает жидкость, налитую в кузов (нечто похожее происходит, когда, желая наблюдать картину силовых линий магнитного поля, мы насыпаем железные опилки на лист бумаги и потряхиваем его, чтобы ослабить трение). В этом случае задачу легко решить.
Однако все может происходить иначе. Мы можем, например, плотно набить песок в кузов, добиваясь «заклинивания» песчинок, когда уже никакая тряска не поможет— сила давления на стенку может при этом оказаться во много раз больше.
Если же мы насыпаем песок медленно и аккуратно, конусом, а потом осторожно заполняем края и тщательно избегаем тряски, то сила давления может оказаться существенно меньше, чем в «гидростатическом» случае.
Разумный выбор модели может очень облегчить решение серьезной проблемы, причем модель может быть и очень неожиданной. Капельная модель ядра позволила оценить многие эффекты, связанные с устойчивостью ядер; планетарная модель Бора дает возможность вычислить множество полезных величин, хотя ясно, что на самом деле все устроено совсем не так. Ведь модель должна передавать далеко не все свойства изучаемого объекта (так, например, гиря на чашке весов моделирует далеко не все свойства взвешиваемого куска сыра).
Итак, при выборе модели явления нужно быть очень аккуратным, не забывая, однако, о том, что живо и наглядно представить себе явление — значит существенней продвинуться в решении задачи.
Однородная балка подвешена к потолку за края и середину при помощи нитей равной длины. Две нити — одинаковые, а третья (привязанная к одному из краев) - двойная. Во сколько раз отличаются натяжения одинаковых нитей?
Решение:
Модели, которые мы выбираем.
Для анализа физических явлений мы всегда пользуемся моделями, упрощая и идеализируя реальную ситуацию. Ясно, что в каждом конкретном случае нужно отразить в модели все важные для данной задачи детали и отбросить все лишние (этот совет, как и многие другие, легче давать, чем ему следовать). Поэтому при выборе модели следует оценить, хотя бы приблизительно, действие факторов, которые мы хотим отбросить, и посмотреть, как скажутся сделанные нами допущения и упрощения на точности получаемого решения задачи.
Рассмотрим пример: спортсмен толкает ядро с высоты $h = 1,5 м$ под углом $\beta = 40^{ \circ}$ к горизонту со скоростью $v = 12 м/с$. Найти дальность полета ядра.
Выберем модель: плоская невращающаяся Земля, воздуха нет, нет также Солнца и Луны. Оценим воздействие отброшенных факторов.
Солнце: дает поправку к ускорению свободного падения $\Delta g_{1} = \omega_{1}^{2} R_{1}$, где $\omega_{1} = 2 \pi /1 год$, $R_{1} = 150 млн км$; $\Delta g_{1} \leq 10^{-2} м/с^{-2} \approx 10^{-3} g$. На самом деле эта поправка намного меньше — ведь сила со стороны Солнца действует и на Землю, сообщая ей почти такое же ускорение. Луна дает примерно такую же поправку (вспомним приливы).
Сопротивление воздуха: сила лобового сопротивления $F_{сопр} = \alpha s v^{2}$. Величину $\alpha$ приблизительно можно оценить, зная скорость выпадения града $v_{г} \approx 20 м/с$ при $r_{г} \approx 0,5 см$:
$\alpha \pi r_{г}^{2} = m_{г}g = \rho_{г} \frac{4}{3} \pi r_{г}^{3} g$,
отсюда
$\alpha = \frac{4 \rho_{г} r_{г}g }{3 v_{г}^{2} }$.
Для ядра скорость $v_{я}$, при которой сила лобового сопротивления воздуха равна силе тяжести, определяется условием
$v_{я0} = v_{г} \sqrt{ \frac{ \rho_{я}r_{я} }{ \rho_{г} r_{г} }} \approx 200 м/с$.
Значит, для данной в условии скорости $F_{сопр} = mg \left ( \frac{12}{220} \right )^{2} \approx 3 \cdot 10^{-3} mg$ (отметим, что при таких скоростях сила вязкого трения больше, чем лобового, однако она также невелика). Архимедова сила
$F_{A} = \frac{ \rho_{возд}}{ \rho_{я}} mg \approx 10^{-3} mg$.
Поправка к ускорению свободного падения из-за вращения Земли
$\Delta g_{2} = \omega_{2}^{2} R_{2}$,
где $\omega = 2 \pi /1 сутки, R_{2} = 6,3 \cdot 10^{6} \cos \phi$ ($\phi$ — широта местности). На экваторе $\Delta g_{2} \leq 3 \cdot 10^{-3} g$.
Цифры в задаче заданы «круглые»; из простых практических соображений ясно, что требуемая погрешность уж никак не лучше 3—5 %. Значит, все перечисленные поправки несущественны и модель наша вполне разумна. Решение задачи совсем простое, мы его не приводим.
Возможны, однако, ситуации, когда даже небольшие поправки могут оказать решающее воздействие на результат. Это может произойти, например, если мы заинтересуемся различиями в движении нескольких тел. Рассмотрите самостоятельно такой вопрос: попадет ли вертикально выстреленный снаряд назад в ствол орудия?
Модель может оказаться и совсем неприменимой, если она не отражает существенных черт явления. Например, модель абсолютно твердого тела для описания удара абсолютно неприменима —важную роль при ударе играют деформации, а абсолютно твердое тело не деформируется. Еще пример: часто пренебрегают индуктивностью проводников (или —что то же самое — энергией магнитного поля, возникающего вокруг проводника при пропускании по нему тока); однако в известной задаче про конденсатор, который после зарядки закорачивают проводником, нельзя одновременно пренебрегать сопротивлением проводника и его индуктивностью — если сопротивление очень мало, то ток получается весьма большим, и даже при малой индуктивности энергия магнитного поля оказывается существенной. Простой анализ показывает, что индуктивностью в этой задаче действительно можно пренебречь, только если выполняется условие $L \ll R^{2}C$.
Очень часто при использовании «плохой» модели концы не сходятся с концами — куда-то девается (или появляется) энергия, не хватает уравнений для решения задачи и т. п. Это всегда должно настораживать!
Разберем полезный пример: на двух нитях подвешена однородная балка. Требуется найти силы натяжения нитей.
Задача эта очень просто решается: нити будем считать нерастяжимыми, составим уравнения равновесия, т. е. запишем условия равенства сил и моментов сил, — и неизвестные величины сразу определятся.
Добавим теперь еще одну нить и придем к рассматриваемой в задаче ситуации. Сразу появляются неприятности—не хватает Уравнений. В чем дело?
Причина тут довольно серьезная—не годится модель. В случае двух нитей она подходила—малые растяжения нитей были несущественны, они приводили лишь к тому, что балка чуть криво висела, а силы при этом практически не менялись. Если же нитей три, положение совсем другое. Чуть ослабим одну нить—вся нагрузка сразу придется на две другие. Значит, малые растяжения существенны и модель «нерастяжимые нити» не годится. (Ведь можно пренебрегать каким-то фактором, только убедившись, что его влияние пренебрежимо мало.)
Положение легко поправить—нужно задать коэффициенты жесткости нитей (можно одинаковые, если их длины одинаковы) и из геометрических соображений найти связь между удлинениями нитей, а значит, и между силами натяжения. Это и будет недостающее уравнение.
Сделаем чертеж, сильно увеличив для наглядности деформации нитей (рис.). Уравнение для сил
$T_{1} + T_{2} + 2T_{3} = Mg$.
Моменты относительно центра тяжести:
$T_{1} \frac{l}{2} = 2T_{3} \frac{l}{2}$. (2)
Еще одно уравнение получим из геометрических соображений:
$\frac{ \Delta l_{1} - \Delta l_{3} }{ \Delta l_{2} - \Delta l_{3} } = \frac{l}{l/2} = 2$. (3)
Если нити одинаковые, то
$T_{1} = k \Delta l_{1}, T_{2} = k \Delta l_{2}, T_{3} = k \Delta l_{3}$
и тогда уравнение (3) можно переписать так:
$\frac{T_{1} - T_{3}} { T_{2} - T_{3} } = 2$.
Решая эту систему, получим
$T_{1} = \frac{4}{11} Mg, T_{2} = \frac{3}{11} Mg, T_{3} = \frac{2}{11} Mg$.
Системы такого рода называют «статически неопределимыми»; имеется в виду необходимость к уравнениям сил и моментов — уравнениям статики —добавлять уравнения, характеризующие физические свойства тел (например, жесткость). Статически неопределимые задачи встречаются не так уж редко. Например, задача о распределении сил давления на кирпич, лежащий на наклонной плоскости. Она похожа на только что рассмотренную, только опор не три, а очень много. Малейшая неровность на основании кирпича кардинально меняет результат — кирпич нельзя считать абсолютно твердым телом.
Особенно каверзными бывают задачи, в которых взаимодействуют много тел и при этом есть трение. Один пример: известная задача про песок, насыпанный в кузов автомобиля.
В кузов автомобиля (размеры заданы) насыпают доверху песок. Заданы: плотность песка, коэффициент трения. Найти силу, действующую на боковую стенку кузова (борт грузовика).
Давление на стенку кузова зависит и от того, как мы насыпали песок, и от того, как именно движется автомобиль (напомним тем, кто давно не ездил в кузове грузового автомобиля, что даже при движении с постоянной скоростью кузов сильно трясет). Из-за непрерывных толчков в разные стороны сухой песок постоянно перемешивается, при этом силы трения между песчинками все время меняют направление. В среднем при этом действие сил трения компенсируется, и песок напоминает жидкость, налитую в кузов (нечто похожее происходит, когда, желая наблюдать картину силовых линий магнитного поля, мы насыпаем железные опилки на лист бумаги и потряхиваем его, чтобы ослабить трение). В этом случае задачу легко решить.
Однако все может происходить иначе. Мы можем, например, плотно набить песок в кузов, добиваясь «заклинивания» песчинок, когда уже никакая тряска не поможет— сила давления на стенку может при этом оказаться во много раз больше.
Если же мы насыпаем песок медленно и аккуратно, конусом, а потом осторожно заполняем края и тщательно избегаем тряски, то сила давления может оказаться существенно меньше, чем в «гидростатическом» случае.
Разумный выбор модели может очень облегчить решение серьезной проблемы, причем модель может быть и очень неожиданной. Капельная модель ядра позволила оценить многие эффекты, связанные с устойчивостью ядер; планетарная модель Бора дает возможность вычислить множество полезных величин, хотя ясно, что на самом деле все устроено совсем не так. Ведь модель должна передавать далеко не все свойства изучаемого объекта (так, например, гиря на чашке весов моделирует далеко не все свойства взвешиваемого куска сыра).
Итак, при выборе модели явления нужно быть очень аккуратным, не забывая, однако, о том, что живо и наглядно представить себе явление — значит существенней продвинуться в решении задачи.
