Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6581
2018-03-10 
Если шестигранный карандаш поместить на наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горизонтальной поверхностью, перпендикулярно ее образующей (линии пересечения плоскости с горизонтальной поверхностью), карандаш будет покоиться. Если его положить параллельно образующей, он будет скатываться вниз.
Определите угол $\phi$ между осью карандаша и образующей наклонной плоскости (рис.), при котором карандаш еще будет находиться в равновесии.
Решение:
Из условия задачи следует, что коэффициент трения скольжения карандаша по наклонной плоскости удовлетворяет условию $\mu \geq tg \alpha$. Действительно, карандаш, положенный перпендикулярно образующей, находится в равновесии, а это означает, что $mg \sin \alpha = F_{тр}$, где $mg$ - сила тяжести, $F_{тp}$ - сила трения. Но $F_{тр} \leq \mu mg \cos \alpha$. Следовательно, $mg \sin \alpha \leq \mu mg \cos \alpha$, откуда $\mu \geq tg \alpha$.
Таким образом, ни при каких значениях угла $\phi$ карандаш по наклонной плоскости скользить не будет.
Скатывание карандаша может начаться при таком угле $\phi_{0}$, когда вектор силы тяжести «выйдет» за пределы участка соприкосновения карандаша и наклонной плоскости (на рис. этот участок заштрихован). Чтобы найти этот угол, спроецируем на наклонную плоскость центр масс карандаша (точку А) и отметим точку пересечения вертикали, проходящей через его центр масс, с наклонной плоскостью (точку В). Очевидно, при различной ориентации карандаша, если его центр масс остается на месте, точки А и В будут неподвижны, причем если сторона шестиугольного поперечного сечения карандаша равна $l$, то $AB = 2l \cos 30^{ \circ} tg \alpha$ (причем $2l \cos 30^{ \circ}$ - это радиус вписанной в шестиугольное сечение окружности).
Пока точка В лежит в заштрихованной области, карандаш не будет скатываться.
Напишем условие начала скатывания карандаша:
$AD/ \cos \phi_{0} = AB$ или $l/ \cos \phi_{0} = l \sqrt{3} tg \alpha$,
Отсюда
$\phi_{0} = arccos \frac{1}{ \sqrt{3} tg \alpha }$.
Таким образом, если угол $\phi$ удовлетворяет условию
$arccos \left ( \frac{1}{ \sqrt{2} tg \alpha } \right ) \leq \phi \leq \frac{ \pi}{2}$,
карандаш находится в равновесии. Выражение для угла $\phi_{0}$ имеет смысл при условии $tg \alpha > 1/ \sqrt{3}$. Тот факт, что карандаш, положенный параллельно образующей, скатывается, означает, что $tg \alpha > 1/ \sqrt{3}$ (покажите это самостоятельно).
Если шестигранный карандаш поместить на наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горизонтальной поверхностью, перпендикулярно ее образующей (линии пересечения плоскости с горизонтальной поверхностью), карандаш будет покоиться. Если его положить параллельно образующей, он будет скатываться вниз.
Определите угол $\phi$ между осью карандаша и образующей наклонной плоскости (рис.), при котором карандаш еще будет находиться в равновесии.
Решение:
Из условия задачи следует, что коэффициент трения скольжения карандаша по наклонной плоскости удовлетворяет условию $\mu \geq tg \alpha$. Действительно, карандаш, положенный перпендикулярно образующей, находится в равновесии, а это означает, что $mg \sin \alpha = F_{тр}$, где $mg$ - сила тяжести, $F_{тp}$ - сила трения. Но $F_{тр} \leq \mu mg \cos \alpha$. Следовательно, $mg \sin \alpha \leq \mu mg \cos \alpha$, откуда $\mu \geq tg \alpha$.
Таким образом, ни при каких значениях угла $\phi$ карандаш по наклонной плоскости скользить не будет.
Скатывание карандаша может начаться при таком угле $\phi_{0}$, когда вектор силы тяжести «выйдет» за пределы участка соприкосновения карандаша и наклонной плоскости (на рис. этот участок заштрихован). Чтобы найти этот угол, спроецируем на наклонную плоскость центр масс карандаша (точку А) и отметим точку пересечения вертикали, проходящей через его центр масс, с наклонной плоскостью (точку В). Очевидно, при различной ориентации карандаша, если его центр масс остается на месте, точки А и В будут неподвижны, причем если сторона шестиугольного поперечного сечения карандаша равна $l$, то $AB = 2l \cos 30^{ \circ} tg \alpha$ (причем $2l \cos 30^{ \circ}$ - это радиус вписанной в шестиугольное сечение окружности).
Пока точка В лежит в заштрихованной области, карандаш не будет скатываться.
Напишем условие начала скатывания карандаша:
$AD/ \cos \phi_{0} = AB$ или $l/ \cos \phi_{0} = l \sqrt{3} tg \alpha$,
Отсюда
$\phi_{0} = arccos \frac{1}{ \sqrt{3} tg \alpha }$.
Таким образом, если угол $\phi$ удовлетворяет условию
$arccos \left ( \frac{1}{ \sqrt{2} tg \alpha } \right ) \leq \phi \leq \frac{ \pi}{2}$,
карандаш находится в равновесии. Выражение для угла $\phi_{0}$ имеет смысл при условии $tg \alpha > 1/ \sqrt{3}$. Тот факт, что карандаш, положенный параллельно образующей, скатывается, означает, что $tg \alpha > 1/ \sqrt{3}$ (покажите это самостоятельно).
