Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6575
2018-03-10 
Два тонких однородных обруча радиуса $R$ соединены так, что их плоскости взаимно перпендикулярны, а центры совпадают. Система находится в положении неустойчивого равновесия, касаясь горизонтальной поверхности одной из точек соединения обручей. После легкого толчка система приходит в движение. Найти ее максимальную угловую скорость, если: а) плоскость очень шероховатая; б) плоскость гладкая.
Решение:
Рассмотрим сначала случай а). Из-за шероховатости плоскости система обручей движется по ней без проскальзывания, причем движение будет плоскопараллельным Между скоростью центра и угловой скоростью вращения системы имеется прямая зависимость. Угловая скорость будет тем больше, чем больше скорость центра и чем меньше расстояние от центра системы до соприкасающихся с горизонтальной поверхности неподвижных точек системы. Максимальную угловую скорость $\omega_{max}$ система, очевидно, будет иметь в тот момент, когда центр системы займет наинизшее положение. При этом кинетическая энергия системы будет максимальной. Изменение потенциальной энергии системы найдем по формуле
$\Delta U = 2Mgh$,
где $M$—масса одного обруча, $h$—максимальное изменение высоты центра системы над горизонтом. Поскольку обручи взаимно перпендикулярны, легко показать, что $h = R \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2} } \right )$. Если скорость центра системы в момент его наинизшего положения $v$, а угловая скорость $\omega$, то кинетическая энергия системы $E_{к}$ будет
$E_{к} =2 \frac{Mv^{2} }{2} + 2 \frac{M \omega^{2} R^{2} }{4} \left ( 1 + \frac{1}{2} \right ) = Mv^{2} + \frac{3}{4} M \omega^{2} R^{2}$
(см. решение задачи 6573 для случая $\alpha = \pi /4$),
Поскольку $\omega = \frac{v}{R} \sqrt{2}$,
$E_{к} = M \frac{ \omega^{2} R^{2} }{2} + \frac{3}{4} M \omega^{2} R^{2} = \frac{5}{4} M \omega^{2}R^{2}$,
Из закона сохранения энергии получим
$2MgR \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2} } \right ) = \frac{5}{4} M \omega^{2}R^{2}$,
следовательно,
$\omega_{max} = \sqrt{ \frac{8}{5} \frac{g}{R} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2} } \right ) }$.
Случай б). Если плоскость гладкая, то центр масс нашей системы будет двигаться по вертикали. При этом в момент его наинизшего положения скорость центра обращается в нуль и весь запас потенциальной энергии
$\Delta U = 2MgR \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2} } \right )$
перейдет в кинетическую энергию вращения относительно горизонтальной оси, проходящей через центр (см. решение задачи 6573)
$E_{к} = 2M \frac{R^{2} \omega^{2} }{4} \left ( 1 + \frac{1}{2} \right ) = \frac{3}{4} MR^{2} \omega^{2}$,
откуда
$\frac{3}{4} MR^{2} \omega^{2} = 2MgR \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2} } \right )$,
$\omega_{max} = \sqrt{ \frac{8g}{3R} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2} } \right ) }$.
Два тонких однородных обруча радиуса $R$ соединены так, что их плоскости взаимно перпендикулярны, а центры совпадают. Система находится в положении неустойчивого равновесия, касаясь горизонтальной поверхности одной из точек соединения обручей. После легкого толчка система приходит в движение. Найти ее максимальную угловую скорость, если: а) плоскость очень шероховатая; б) плоскость гладкая.
Решение:
Рассмотрим сначала случай а). Из-за шероховатости плоскости система обручей движется по ней без проскальзывания, причем движение будет плоскопараллельным Между скоростью центра и угловой скоростью вращения системы имеется прямая зависимость. Угловая скорость будет тем больше, чем больше скорость центра и чем меньше расстояние от центра системы до соприкасающихся с горизонтальной поверхности неподвижных точек системы. Максимальную угловую скорость $\omega_{max}$ система, очевидно, будет иметь в тот момент, когда центр системы займет наинизшее положение. При этом кинетическая энергия системы будет максимальной. Изменение потенциальной энергии системы найдем по формуле
$\Delta U = 2Mgh$,
где $M$—масса одного обруча, $h$—максимальное изменение высоты центра системы над горизонтом. Поскольку обручи взаимно перпендикулярны, легко показать, что $h = R \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2} } \right )$. Если скорость центра системы в момент его наинизшего положения $v$, а угловая скорость $\omega$, то кинетическая энергия системы $E_{к}$ будет
$E_{к} =2 \frac{Mv^{2} }{2} + 2 \frac{M \omega^{2} R^{2} }{4} \left ( 1 + \frac{1}{2} \right ) = Mv^{2} + \frac{3}{4} M \omega^{2} R^{2}$
(см. решение задачи 6573 для случая $\alpha = \pi /4$),
Поскольку $\omega = \frac{v}{R} \sqrt{2}$,
$E_{к} = M \frac{ \omega^{2} R^{2} }{2} + \frac{3}{4} M \omega^{2} R^{2} = \frac{5}{4} M \omega^{2}R^{2}$,
Из закона сохранения энергии получим
$2MgR \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2} } \right ) = \frac{5}{4} M \omega^{2}R^{2}$,
следовательно,
$\omega_{max} = \sqrt{ \frac{8}{5} \frac{g}{R} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2} } \right ) }$.
Случай б). Если плоскость гладкая, то центр масс нашей системы будет двигаться по вертикали. При этом в момент его наинизшего положения скорость центра обращается в нуль и весь запас потенциальной энергии
$\Delta U = 2MgR \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2} } \right )$
перейдет в кинетическую энергию вращения относительно горизонтальной оси, проходящей через центр (см. решение задачи 6573)
$E_{к} = 2M \frac{R^{2} \omega^{2} }{4} \left ( 1 + \frac{1}{2} \right ) = \frac{3}{4} MR^{2} \omega^{2}$,
откуда
$\frac{3}{4} MR^{2} \omega^{2} = 2MgR \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2} } \right )$,
$\omega_{max} = \sqrt{ \frac{8g}{3R} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2} } \right ) }$.
