Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6573
2018-03-10 
Тонкий обруч массы $M$ и радиуса $R$ жестко закреплен при помощи легких спиц па оси, проходящей через центр обруча, так что плоскость обруча составляет угол $\alpha$ с осью. Определить, какую работу необходимо совершить, чтобы раскрутить ось до угловой скорости $\omega$.
Решение:
Найдем сначала кинетическую энергию обруча, вращающегося с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси $O^{ \prime}O^{ \prime \prime}$ в таком положении, как указано в условии (рис.).
Линейные скорости различных точек обруча различны; соответственно, различны вклады отдельных участков обруча в общую кинетическую энергию. Найдем кинетическую энергию нары малых участков $A_{1}$ и $A_{2}$, расположенных так, что $\angle A_{1}OA_{2} = \pi /2$. Размер каждого участка равен $R \Delta \phi$, масса — $m = \frac{M}{2 \pi R } R \Delta \phi = \frac{M}{2 \pi} \Delta \phi$ (размер $R \Delta \phi$ настолько мал, что различием в радиусах окружностей, по которым вращаются разные точки участков, можно пренебречь). Линейные скорости участков $A_{1}$ и $A_{2}$ равны, соответственно,
$v_{1} = \omega |O_{1}A_{1}|, v_{2} = \omega |O_{2}A_{2}|$,
где $|O_{1}A_{1}|, | O_{2}A_{2}|$ — радиусы окружностей, по которым вращаются участки $A_{1}$ и $A_{2}$ вокруг оси $O^{ \prime}O^{ \prime \prime}$. Как видно из рисунка,
$|O_{1}A_{1}| = \sqrt{ |OA_{1} |^{2} - |OO_{1} |^{2} } = R \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha \cos^{2} \phi }$,
$|O_{2}A_{2}| = \sqrt{ |OA_{2} |^{2} - |OO_{2} |^{2} } = R \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha \sin^{2} \phi }$.
Таким образом, кинетическая энергия пары участков $A_{1}$ и $A_{2}$ равна
$\Delta E_{к} = \frac{1}{2} m (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} ) = \frac{M}{2 \pi} \Delta \phi \omega^{2} R^{2} (1 + \sin^{2} \alpha)$.
Рассмотрев любую пару участков, радиус-векторы которых образуют угол $\pi/2$, мы получим такое же выражение для кинетической энергии. Число таких пар, очевидно, равно $\pi / \Delta \phi$. Следовательно, полная энергия вращающегося обруча равна
$E_{к} = \frac{ \pi}{ \Delta \phi} \Delta E_{к} = \frac{M}{4} \omega^{2}R^{2} (1 + \sin^{2} \phi )$.
Согласно закону сохранения энергии работа, которую надо совершить, чтобы раскрутить обруч до угловой скорости $\omega$, равна
$A = \frac{M}{4} \omega^{2}R^{2} (1 + \sin^{2} \alpha )$.
Для частного случая $\alpha = \pi /2$ (обруч вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси)
$E_{гор} = \frac{M}{2} \omega^{2}R^{2}$.
Для $\alpha = 0$ (обруч вращается вокруг вертикального диаметра)
$E_{верт} = \frac{M}{4} \omega^{2}R^{2} = \frac{1}{2} E_{гор}$.
Тонкий обруч массы $M$ и радиуса $R$ жестко закреплен при помощи легких спиц па оси, проходящей через центр обруча, так что плоскость обруча составляет угол $\alpha$ с осью. Определить, какую работу необходимо совершить, чтобы раскрутить ось до угловой скорости $\omega$.
Решение:
Найдем сначала кинетическую энергию обруча, вращающегося с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси $O^{ \prime}O^{ \prime \prime}$ в таком положении, как указано в условии (рис.).
Линейные скорости различных точек обруча различны; соответственно, различны вклады отдельных участков обруча в общую кинетическую энергию. Найдем кинетическую энергию нары малых участков $A_{1}$ и $A_{2}$, расположенных так, что $\angle A_{1}OA_{2} = \pi /2$. Размер каждого участка равен $R \Delta \phi$, масса — $m = \frac{M}{2 \pi R } R \Delta \phi = \frac{M}{2 \pi} \Delta \phi$ (размер $R \Delta \phi$ настолько мал, что различием в радиусах окружностей, по которым вращаются разные точки участков, можно пренебречь). Линейные скорости участков $A_{1}$ и $A_{2}$ равны, соответственно,
$v_{1} = \omega |O_{1}A_{1}|, v_{2} = \omega |O_{2}A_{2}|$,
где $|O_{1}A_{1}|, | O_{2}A_{2}|$ — радиусы окружностей, по которым вращаются участки $A_{1}$ и $A_{2}$ вокруг оси $O^{ \prime}O^{ \prime \prime}$. Как видно из рисунка,
$|O_{1}A_{1}| = \sqrt{ |OA_{1} |^{2} - |OO_{1} |^{2} } = R \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha \cos^{2} \phi }$,
$|O_{2}A_{2}| = \sqrt{ |OA_{2} |^{2} - |OO_{2} |^{2} } = R \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha \sin^{2} \phi }$.
Таким образом, кинетическая энергия пары участков $A_{1}$ и $A_{2}$ равна
$\Delta E_{к} = \frac{1}{2} m (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} ) = \frac{M}{2 \pi} \Delta \phi \omega^{2} R^{2} (1 + \sin^{2} \alpha)$.
Рассмотрев любую пару участков, радиус-векторы которых образуют угол $\pi/2$, мы получим такое же выражение для кинетической энергии. Число таких пар, очевидно, равно $\pi / \Delta \phi$. Следовательно, полная энергия вращающегося обруча равна
$E_{к} = \frac{ \pi}{ \Delta \phi} \Delta E_{к} = \frac{M}{4} \omega^{2}R^{2} (1 + \sin^{2} \phi )$.
Согласно закону сохранения энергии работа, которую надо совершить, чтобы раскрутить обруч до угловой скорости $\omega$, равна
$A = \frac{M}{4} \omega^{2}R^{2} (1 + \sin^{2} \alpha )$.
Для частного случая $\alpha = \pi /2$ (обруч вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси)
$E_{гор} = \frac{M}{2} \omega^{2}R^{2}$.
Для $\alpha = 0$ (обруч вращается вокруг вертикального диаметра)
$E_{верт} = \frac{M}{4} \omega^{2}R^{2} = \frac{1}{2} E_{гор}$.
