Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6572
2018-03-10 
Три одинаковых массивных шара находятся на одной высоте над горизонтальной поверхностью (рис.). Первый шар насажен на невесомую спицу, колец которой закреплен в шарнире. Второй шар насажен на такую же спицу, но ее конец может без трения скользить по поверхности. Третий шар никак с поверхностью не связан. Шары одновременно отпускают без начальной скорости. В каком порядке они упадут на плоскость?
Решение:
Кинетическая энергия плоскопараллельно движущегося твердого тела.
Рассмотрим для начала твердое тело, вращающееся с скоростью со относительно неподвижной оси, и найдем его кинетическую энергию. Выберем начало системы координат О на оси вращения, а взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Пусть небольшая область вращающегося тела (точка $A_{i}$) имеет массу $\Delta m_{i}$ и находится от оси вращения на расстоянии $r_{i}$ (рис.). Считая, что твердое тело вращается против часовой стрелки, легко понять, что мгновенная скорость $\vec{v}_{i}$ выделенной области составляет с осью Ох угол $\frac{ \pi}{2} + \phi$, поэтому проекции скорости $\vec{v}_{i}$ на оси координат получим в виде
$v_{ix} = \omega r_{i} \cos \left ( \frac{ \pi}{2} + \phi \right ) = - \omega r_{i} \sin \phi = - \omega y_{i}$,
$v_{iy} = \omega r_{i} \sin \left ( \frac{ \pi}{2} + \phi \right ) = \omega r_{i} \cos \phi = - \omega x_{i}$,
где $x_{i}$ и $y_{i}$ — соответственно х-я и у-я координаты малой области.
Кинетическая энергия $\Delta E_{к}$ малой области А равна
$\Delta E_{к} = \Delta m_{i} \frac{v_{i}^{2} }{2} = \Delta m_{i} \frac{v_{ix}^{2} + v_{iy}^{2} }{2} = \Delta m_{i} \frac{ \omega^{2} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2} ) }{2} = \Delta m_{i} \frac{r_{i}^{2} \omega^{2} }{2}$.
Полная кинетическая энергия твердого тела $E_{к}$ равна сумме кинетических энергий всех малых областей, составляющих твердое тело,
$E_{к} = \sum_{i} \frac{ \Delta m_{i}r_{i}^{2} \omega^{2} }{2} = \frac{ \omega^{2}}{2} \sum_{i} \Delta m_{i} r_{i}^{2} = \frac{ \omega^{2} }{2} I$.
Величина $I$ называется моментом инерции твердого тела относительно выбранной оси (в данном случае относительно оси вращения). Ясно, что момент инерции зависит от того, где выбрана ось и как она направлена.
Плоскопараллельным называется такое движение твердого тела, при котором траектории всех его точек лежат в плоскостях, параллельных друг другу. Для описания этого типа движения твердого тела поступают следующим образом. Выбирают жестко связанную g телом «ось вращения» (она может оказаться и вне тела), которая перпендикулярна плоскостям, в которых лежат траектории движения различных точек твердого тела. Движение твердого тела представляют как сумму поступательного движения тела как целого вместе с указанной осью со скоростью $\vec{v}_{0}$ и вращательного движения вокруг этой оси с угловой скоростью $\omega$.
Поскольку «ось вращения» можно выбрать достаточно произвольно, разбиение плоскопараллельного движения твердого тела на сумму вращательного и поступательного движений можно осуществить огромным числом способов. При этом скорость поступательной части общего движения $\vec{v}_{0}$ будет совпадать со скоростью выбранной оси вращения. Угловая же скорость $\omega$ от выбора оси зависеть не будет. Это связано с тем, что все отрезки твердого тела, лежащие в плоскостях, перпендикулярных направлению оси вращения, за данный промежуток времени повернутся на один и тот же угол. Именно поэтому часто говорят, что угловая скорость вращения описывает вращение твердого тела как целого.
Выберем ось вращения так, чтобы она проходила через центр масс твердого тела. Движущуюся поступательно систему координат выберем так, чтобы ее начало О находилось в центре масс твердого тела (а значит, на осЛ вращения), а оси Ох и Оу были бы перпендикулярны этой оси. Относительно неподвижной системы координат век- 1 тор скорости произвольной точки твердого тела имеет следующие проекции $v_{ix}$ и $v_{iy}$:
$v_{ix} = v_{0x} - \omega y_{i}, v_{iy} = v_{0y} + \omega x_{i}$,
где $v_{0x}$ и $v_{0y}$ - соответствующие проекции скорости $\vec{v}_{0}$ центра масс твердого тела относительно неподвижной системы координат, $x_{i}$ и $y_{i}$ - координаты рассматриваемой точки тела относительно подвижной поступательно движущейся системы координат (оси координат неподвижной и подвижной систем соответственно параллельны друг другу). Если масса рассматриваемой точки твердого тела равна $\Delta m_{i}$, то ее кинетическая энергия
$\Delta E_{к} = \frac{ \Delta m_{i} }{2} (v_{ix}^{2} + v_{iy}^{2} ) = \frac{ \Delta m_{i} }{2} [(v_{0x} - \omega y_{i} )^{2} + (v_{0y} + \omega x_{i} )^{2} ] = \frac{ \Delta m_{i} }{2} [(v_{0}^{2} + \omega r_{i} )^{2} - v_{0x} \omega \Delta m_{i}x_{i} + v_{0y} \omega \Delta m_{i} y_{i} ]$,
где $\vec{v}_{0}$—скорости оси вращения, $\omega$—угловая скорость твердого тела, $\vec{r}_{i}$ - расстояние i-й точки от оси вращения. Полную кинетическую энергию твердого тела в данном случае найдем, суммируя энергии составляющих его малых областей — точек
$E_{к} = \sum_{i} \frac{ \Delta m_{i} }{2} (v_{ix}^{2} + v_{iy}^{2} ) = \frac{v_{0}^{2} }{2} \left ( \sum_{i} \Delta m_{i} \right ) + \frac{ \omega^{2} }{2} \left ( \sum_{i} \Delta m_{i} r_{i}^{2} \right ) - v_{0x} \omega \left ( \sum_{i} \Delta m_{i} x_{i} \right ) + v_{0y} \omega \left ( \sum_{i} \Delta m_{i} y_{i} \right ) = \frac{v_{0}^{2} }{2} M + \frac{ \omega^{2} }{2} I$,
где $M$ - масса твердого тела, $I$ — момент инерции относительно выбранной оси вращения. Выражения $\left ( \sum_{i} \Delta m_{i}x_{i} \right )$
и $\left ( \Delta m_{i}y_{i} \right )$ равны нулю, поскольку каждое из них пропорционально соответствующей координате центра масс твердого тела в системе координат, начало которой совпадает с центром масс твердого тела (именно так мы выбрали движущуюся систему координат). Таким образом, если твердое тело массы $M$ движется плоскопараллельно, его центр масс имеет скорость $v_{0}$, угловая скорость равна $\omega$, а момент инерции относительно проходящей через центр масс оси вращения равен $I$, то кинетическая энергия тела $E_{к}$ будет определяться по формуле
$E_{к} = \frac{Mv_{0}^{2} }{2} + \frac{I \omega^{2} }{2}$.
Перейдем теперь к решению задачи
Легко понять, что раньше всех горизонтальной плоскости достигнет третий шар. Действительно, воспользуемся законом сохранения энергии для описания движения шаров. Тогда для первого и второго шаров изменение потенциальной энергии идет на увеличение кинетической энергии как поступательного, так и вращательного движения этих шаров. Для третьего же шара все изменение его потенциальной энергии «расходуется» на увеличение кинетической энергии поступательного движения. Поэтому третий шар, двигаясь вертикально вниз, на каждой высоте имеет скорость центра большую, чем первые два. Следовательно, он первым достигнет горизонтальной поверхности.
Более подробно рассмотрим движение первого и второго шаров. В начальный момент времени спицы образуют одинаковые углы с горизонтом, и изменение потенциальной энергии шаров одинаково и равно $\Delta U$. Закон сохранения энергии для первого шара примет вид
$\Delta U = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{I \omega_{1}^{2} }{2}$
где $v_{1}$ - скорость центра шара, направленная под углом $\alpha$ к вертикали, $\omega_{1}$ - угловая скорость шара относительно оси, проходящей через его центр и одновременно угловая скорость вращения спицы, $I$ — момент инерции шара. Так как $v_{1} = \omega_{1}l$, где $l$ - расстояние от шарнира до центра шара, то
$\Delta U = v_{1}^{2} \left ( \frac{m}{2} + \frac{I}{2l^{2} } \right )$
и
$v_{1} = \sqrt{ \frac{2 \Delta U}{m + I/l^{2} } }$.
Но за изменение высоты шара иад горизонтом «отвечает» проекция скорости $v_{1}$, равная $u = v_{1} \cos \alpha$. Изменение высоты первого шара над горизонтальной поверхностью происходит со скоростью
$u = \sqrt{ \frac{2 \Delta U}{m + I/l^{2} } } \cos \alpha$.
Для второго шара закон сохранения энергии запишется в виде
$\Delta U = \frac{mv_{2}^{2} }{2} + \frac{I \omega_{2}^{2}} {2}$,
где $v_{2}$ - скорость центра шара, направленная строго вниз (так как спица невесома, а силы, действующие на систему шар + спица, вертикальны, то и центр масс системы, совпадающий с центром шара, движется вертикально вниз), $\omega_{2}$ - угловая скорость шара. Из условия нерастяжимости спицы следует, что
$\omega_{2} = v_{2}/l \cos \alpha$,
Тогда
$v_{2} = \sqrt{ \frac{2 \Delta U}{m \cos^{2} \alpha + I/l^{2} } } \cos \alpha$.
Следовательно, $v_{2} > U$. Поэтому второй шар быстрее первого достигнет горизонтальной плоскости.
Три одинаковых массивных шара находятся на одной высоте над горизонтальной поверхностью (рис.). Первый шар насажен на невесомую спицу, колец которой закреплен в шарнире. Второй шар насажен на такую же спицу, но ее конец может без трения скользить по поверхности. Третий шар никак с поверхностью не связан. Шары одновременно отпускают без начальной скорости. В каком порядке они упадут на плоскость?
Решение:
Кинетическая энергия плоскопараллельно движущегося твердого тела.
Рассмотрим для начала твердое тело, вращающееся с скоростью со относительно неподвижной оси, и найдем его кинетическую энергию. Выберем начало системы координат О на оси вращения, а взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Пусть небольшая область вращающегося тела (точка $A_{i}$) имеет массу $\Delta m_{i}$ и находится от оси вращения на расстоянии $r_{i}$ (рис.). Считая, что твердое тело вращается против часовой стрелки, легко понять, что мгновенная скорость $\vec{v}_{i}$ выделенной области составляет с осью Ох угол $\frac{ \pi}{2} + \phi$, поэтому проекции скорости $\vec{v}_{i}$ на оси координат получим в виде
$v_{ix} = \omega r_{i} \cos \left ( \frac{ \pi}{2} + \phi \right ) = - \omega r_{i} \sin \phi = - \omega y_{i}$,
$v_{iy} = \omega r_{i} \sin \left ( \frac{ \pi}{2} + \phi \right ) = \omega r_{i} \cos \phi = - \omega x_{i}$,
где $x_{i}$ и $y_{i}$ — соответственно х-я и у-я координаты малой области.
Кинетическая энергия $\Delta E_{к}$ малой области А равна
$\Delta E_{к} = \Delta m_{i} \frac{v_{i}^{2} }{2} = \Delta m_{i} \frac{v_{ix}^{2} + v_{iy}^{2} }{2} = \Delta m_{i} \frac{ \omega^{2} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2} ) }{2} = \Delta m_{i} \frac{r_{i}^{2} \omega^{2} }{2}$.
Полная кинетическая энергия твердого тела $E_{к}$ равна сумме кинетических энергий всех малых областей, составляющих твердое тело,
$E_{к} = \sum_{i} \frac{ \Delta m_{i}r_{i}^{2} \omega^{2} }{2} = \frac{ \omega^{2}}{2} \sum_{i} \Delta m_{i} r_{i}^{2} = \frac{ \omega^{2} }{2} I$.
Величина $I$ называется моментом инерции твердого тела относительно выбранной оси (в данном случае относительно оси вращения). Ясно, что момент инерции зависит от того, где выбрана ось и как она направлена.
Плоскопараллельным называется такое движение твердого тела, при котором траектории всех его точек лежат в плоскостях, параллельных друг другу. Для описания этого типа движения твердого тела поступают следующим образом. Выбирают жестко связанную g телом «ось вращения» (она может оказаться и вне тела), которая перпендикулярна плоскостям, в которых лежат траектории движения различных точек твердого тела. Движение твердого тела представляют как сумму поступательного движения тела как целого вместе с указанной осью со скоростью $\vec{v}_{0}$ и вращательного движения вокруг этой оси с угловой скоростью $\omega$.
Поскольку «ось вращения» можно выбрать достаточно произвольно, разбиение плоскопараллельного движения твердого тела на сумму вращательного и поступательного движений можно осуществить огромным числом способов. При этом скорость поступательной части общего движения $\vec{v}_{0}$ будет совпадать со скоростью выбранной оси вращения. Угловая же скорость $\omega$ от выбора оси зависеть не будет. Это связано с тем, что все отрезки твердого тела, лежащие в плоскостях, перпендикулярных направлению оси вращения, за данный промежуток времени повернутся на один и тот же угол. Именно поэтому часто говорят, что угловая скорость вращения описывает вращение твердого тела как целого.
Выберем ось вращения так, чтобы она проходила через центр масс твердого тела. Движущуюся поступательно систему координат выберем так, чтобы ее начало О находилось в центре масс твердого тела (а значит, на осЛ вращения), а оси Ох и Оу были бы перпендикулярны этой оси. Относительно неподвижной системы координат век- 1 тор скорости произвольной точки твердого тела имеет следующие проекции $v_{ix}$ и $v_{iy}$:
$v_{ix} = v_{0x} - \omega y_{i}, v_{iy} = v_{0y} + \omega x_{i}$,
где $v_{0x}$ и $v_{0y}$ - соответствующие проекции скорости $\vec{v}_{0}$ центра масс твердого тела относительно неподвижной системы координат, $x_{i}$ и $y_{i}$ - координаты рассматриваемой точки тела относительно подвижной поступательно движущейся системы координат (оси координат неподвижной и подвижной систем соответственно параллельны друг другу). Если масса рассматриваемой точки твердого тела равна $\Delta m_{i}$, то ее кинетическая энергия
$\Delta E_{к} = \frac{ \Delta m_{i} }{2} (v_{ix}^{2} + v_{iy}^{2} ) = \frac{ \Delta m_{i} }{2} [(v_{0x} - \omega y_{i} )^{2} + (v_{0y} + \omega x_{i} )^{2} ] = \frac{ \Delta m_{i} }{2} [(v_{0}^{2} + \omega r_{i} )^{2} - v_{0x} \omega \Delta m_{i}x_{i} + v_{0y} \omega \Delta m_{i} y_{i} ]$,
где $\vec{v}_{0}$—скорости оси вращения, $\omega$—угловая скорость твердого тела, $\vec{r}_{i}$ - расстояние i-й точки от оси вращения. Полную кинетическую энергию твердого тела в данном случае найдем, суммируя энергии составляющих его малых областей — точек
$E_{к} = \sum_{i} \frac{ \Delta m_{i} }{2} (v_{ix}^{2} + v_{iy}^{2} ) = \frac{v_{0}^{2} }{2} \left ( \sum_{i} \Delta m_{i} \right ) + \frac{ \omega^{2} }{2} \left ( \sum_{i} \Delta m_{i} r_{i}^{2} \right ) - v_{0x} \omega \left ( \sum_{i} \Delta m_{i} x_{i} \right ) + v_{0y} \omega \left ( \sum_{i} \Delta m_{i} y_{i} \right ) = \frac{v_{0}^{2} }{2} M + \frac{ \omega^{2} }{2} I$,
где $M$ - масса твердого тела, $I$ — момент инерции относительно выбранной оси вращения. Выражения $\left ( \sum_{i} \Delta m_{i}x_{i} \right )$
и $\left ( \Delta m_{i}y_{i} \right )$ равны нулю, поскольку каждое из них пропорционально соответствующей координате центра масс твердого тела в системе координат, начало которой совпадает с центром масс твердого тела (именно так мы выбрали движущуюся систему координат). Таким образом, если твердое тело массы $M$ движется плоскопараллельно, его центр масс имеет скорость $v_{0}$, угловая скорость равна $\omega$, а момент инерции относительно проходящей через центр масс оси вращения равен $I$, то кинетическая энергия тела $E_{к}$ будет определяться по формуле
$E_{к} = \frac{Mv_{0}^{2} }{2} + \frac{I \omega^{2} }{2}$.
Перейдем теперь к решению задачи
Легко понять, что раньше всех горизонтальной плоскости достигнет третий шар. Действительно, воспользуемся законом сохранения энергии для описания движения шаров. Тогда для первого и второго шаров изменение потенциальной энергии идет на увеличение кинетической энергии как поступательного, так и вращательного движения этих шаров. Для третьего же шара все изменение его потенциальной энергии «расходуется» на увеличение кинетической энергии поступательного движения. Поэтому третий шар, двигаясь вертикально вниз, на каждой высоте имеет скорость центра большую, чем первые два. Следовательно, он первым достигнет горизонтальной поверхности.
Более подробно рассмотрим движение первого и второго шаров. В начальный момент времени спицы образуют одинаковые углы с горизонтом, и изменение потенциальной энергии шаров одинаково и равно $\Delta U$. Закон сохранения энергии для первого шара примет вид
$\Delta U = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{I \omega_{1}^{2} }{2}$
где $v_{1}$ - скорость центра шара, направленная под углом $\alpha$ к вертикали, $\omega_{1}$ - угловая скорость шара относительно оси, проходящей через его центр и одновременно угловая скорость вращения спицы, $I$ — момент инерции шара. Так как $v_{1} = \omega_{1}l$, где $l$ - расстояние от шарнира до центра шара, то
$\Delta U = v_{1}^{2} \left ( \frac{m}{2} + \frac{I}{2l^{2} } \right )$
и
$v_{1} = \sqrt{ \frac{2 \Delta U}{m + I/l^{2} } }$.
Но за изменение высоты шара иад горизонтом «отвечает» проекция скорости $v_{1}$, равная $u = v_{1} \cos \alpha$. Изменение высоты первого шара над горизонтальной поверхностью происходит со скоростью
$u = \sqrt{ \frac{2 \Delta U}{m + I/l^{2} } } \cos \alpha$.
Для второго шара закон сохранения энергии запишется в виде
$\Delta U = \frac{mv_{2}^{2} }{2} + \frac{I \omega_{2}^{2}} {2}$,
где $v_{2}$ - скорость центра шара, направленная строго вниз (так как спица невесома, а силы, действующие на систему шар + спица, вертикальны, то и центр масс системы, совпадающий с центром шара, движется вертикально вниз), $\omega_{2}$ - угловая скорость шара. Из условия нерастяжимости спицы следует, что
$\omega_{2} = v_{2}/l \cos \alpha$,
Тогда
$v_{2} = \sqrt{ \frac{2 \Delta U}{m \cos^{2} \alpha + I/l^{2} } } \cos \alpha$.
Следовательно, $v_{2} > U$. Поэтому второй шар быстрее первого достигнет горизонтальной плоскости.
