Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6570
2018-03-10 
Однородная палочка длины $l$ связана нитью той же длины с неподвижной точкой А. Нижний конец палочки может скользить без трения по горизонтальному столу. Расстояние от точки A до стола равно $H$ ($l < H < 2l$). Палочка начинает двигаться без начальной скорости из положения, изображенного на рис. Найти максимальную скорость центра палочки при ее последующем движении.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. В начальный момент палочка образует с горизонтом угол а, такой, что $sin \alpha = H/2l$. Полная энергия палочки в начальный момент равна ее потенциальной энергии и составляет
$U_{0} = mg \frac{H}{4}$.
При движении палочки ее полная энергия в любой момент времени складывается из потенциальной энергии
$U = mg \frac{l \sin \beta}{2}$
($\beta$ - угол, который палочка образует с горизонтом в данный момент (рис.)), кинетической энергии поступательного движения
$E_{1} = \frac{mv^{2} }{2}$
($v$ - скорость центра масс палочки) и энергии $E_{2}$ вращательного движения. Согласно закону сохранения энергии
$U + E_{1} + E_{2} = U_{0}$,
откуда
$E_{1} = \frac{mv^{2} }{2} = U_{0} - U - E_{2}$
и
$v = \sqrt{ \frac{2}{m} (U_{0} - U - E_{2} ) }$.
Очевидно, скорость центра масс палочки будет максимальной, когда значение суммы $U$ и $E_{2}$ будет минимальным.
Потенциальная энергия минимальна в тот момент, когда верхний конец палочки занимает наинизшее возможное положение, т. е. когда нить вертикальна. При этом
$U_{min} = mg \frac{H - l}{2}$.
Нетрудно понять, что в этот момент времени палочка движется только поступательно. Действительно, поскольку палочка нерастяжима, проекции скоростей любых ее точек на направление самой палочки должны быть одинаковы. Скорость нижней точки (точки С) всегда направлена горизонтально, а в тот момент, когда нить вертикальна, скорость верхней точки (точка В) также горизонтальна (так как нить нерастяжима). Из условия нерастяжимости палочки следует, что эти скорости должны быть одинаковы и все точки палочки должны в этот момент двигаться с такими же скоростями. Эго означает, что вращательное движение отсутствует, т. е. $E_{2} = 0$.
Итак, в тот момент, когда нить вертикальна, скорость центра масс палочки имеет максимальное значение
$U_{max} = \sqrt{ \frac{2}{m} \left ( mg \frac{H}{4} - mg \frac{H - l}{2} \right ) } = \sqrt{ \frac{g}{2} (2l - H) }$
и направлена горизонтально.
Однородная палочка длины $l$ связана нитью той же длины с неподвижной точкой А. Нижний конец палочки может скользить без трения по горизонтальному столу. Расстояние от точки A до стола равно $H$ ($l < H < 2l$). Палочка начинает двигаться без начальной скорости из положения, изображенного на рис. Найти максимальную скорость центра палочки при ее последующем движении.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. В начальный момент палочка образует с горизонтом угол а, такой, что $sin \alpha = H/2l$. Полная энергия палочки в начальный момент равна ее потенциальной энергии и составляет
$U_{0} = mg \frac{H}{4}$.
При движении палочки ее полная энергия в любой момент времени складывается из потенциальной энергии
$U = mg \frac{l \sin \beta}{2}$
($\beta$ - угол, который палочка образует с горизонтом в данный момент (рис.)), кинетической энергии поступательного движения
$E_{1} = \frac{mv^{2} }{2}$
($v$ - скорость центра масс палочки) и энергии $E_{2}$ вращательного движения. Согласно закону сохранения энергии
$U + E_{1} + E_{2} = U_{0}$,
откуда
$E_{1} = \frac{mv^{2} }{2} = U_{0} - U - E_{2}$
и
$v = \sqrt{ \frac{2}{m} (U_{0} - U - E_{2} ) }$.
Очевидно, скорость центра масс палочки будет максимальной, когда значение суммы $U$ и $E_{2}$ будет минимальным.
Потенциальная энергия минимальна в тот момент, когда верхний конец палочки занимает наинизшее возможное положение, т. е. когда нить вертикальна. При этом
$U_{min} = mg \frac{H - l}{2}$.
Нетрудно понять, что в этот момент времени палочка движется только поступательно. Действительно, поскольку палочка нерастяжима, проекции скоростей любых ее точек на направление самой палочки должны быть одинаковы. Скорость нижней точки (точки С) всегда направлена горизонтально, а в тот момент, когда нить вертикальна, скорость верхней точки (точка В) также горизонтальна (так как нить нерастяжима). Из условия нерастяжимости палочки следует, что эти скорости должны быть одинаковы и все точки палочки должны в этот момент двигаться с такими же скоростями. Эго означает, что вращательное движение отсутствует, т. е. $E_{2} = 0$.
Итак, в тот момент, когда нить вертикальна, скорость центра масс палочки имеет максимальное значение
$U_{max} = \sqrt{ \frac{2}{m} \left ( mg \frac{H}{4} - mg \frac{H - l}{2} \right ) } = \sqrt{ \frac{g}{2} (2l - H) }$
и направлена горизонтально.
