ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-01   
Очень маленькая заземленная проводящая сфера находится на расстоянии $a$ от точечного заряда $q_{1}$ и на расстоянии $b$ от точечного заряда $q_{2} (a < b)$. В некоторый момент сфера начинает расширяться так, что ее радиус растет по закону $R = vt$.
Определите зависимость силы тока от времени $I(t)$ в проводнике, осуществляющем заземление. Считать, что точечные заряды и центр сферы неподвижны и в соответствующие моменты времени исходные точечные заряды попадают внутрь расширяющейся сферы, не касаясь ее (через небольшие отверстия).


Решение:


Запишем условие равенства потенциала сферы, а значит, и любой точки пространства внутри нее (в частности, центра) нулю к моменту времени $t$, причем выделим три интервала времени:
$1) t < a/v, 2) a/v \leq t < b/v, 3) t \geq b/v.$
Обозначим заряд сферы $q(t)$. Для момента времени $t$ внутри первого интервала 1 получим
$q_{1}/a + q_{2}/b + q(t)/(vt)= 0$;
отсюда
$q(t)= - v (q_{1}/a + q_{2}/b)t, I_{1}(t) = -v (q_{1}/a + q_{2}/b)$.
Для момента времени t внутри интервала 2 получим, что поля внутри сферы и вне нее независимы; отсюда
$\frac{q(t)+q_{1}}{vt} = - \frac{q_{2}}{b}, I_{2}(t)=-v \frac{q_{2}}{b}$.
Наконец, как только сфера поглотит внутри себя оба точечных заряда $q_{1}$ и $q_{2}$, протекание тока по «заземляющему» ее проводнику прекратится, и
$ I(t) =
\begin{cases}
-v(q_{1}/a +q_{2}/b),&\text{ $t < a/v$;}\\
vq_{2}/b,&\text{ $a/v \leq t < b/v$;}\\
0,&\text{ $t \geq b/v$.}
\end{cases}
$