Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6568
2018-03-10 
Тяжелая доска массы $M$ лежит на двух тонкостенных катках радиусов $r$ и $R$ и равных масс $m$. Расстояние между центрами катков равно $l$. С каким ускорением начнет двигаться доска, если ее отпустить? Проскальзывание между всеми соприкасающимися телами отсутствует.
Решение:
Так как проскальзывание между всеми поверхностями отсутствует, то при движении доски и катков будут оставаться неизменными расстояние $| AB |$ между точками касания катков и горизонтальной плоскостью и равное ему расстояние $| A^{ \prime} B^{ \prime} |$ между точками касания катков и доски (рис.). Следовательно, не будет изменяться и расстояние $O_{1}O_{2} = l$ между центрами катков. А это означает, что скорости центров обоих катков в любой момент времени одинаковы и направлены по прямой $O_{1}O_{2}$.
Найдем направление скорости центра масс доски О. Пусть скорость центров катков равна $\vec{v}$. Тогда в системе отсчета, движущейся с этой скоростью, центры катков неподвижны, скорости же точек $A^{ \prime}$ и $B^{ \prime}$, а значит, и скорость $\vec{v}_{ц.м}$ центра масс доски равны по модулю $| \vec{v} |$ и направлены вдоль доски. В неподвижной относительно горизонтальной плоскости системе отсчета скорость $\vec{u}_{ц.м}$ центра масс доски равна векторной сумме скоростей $v_{ц.м}^{ \prime}$ и $\vec{v}$. Из рис. можно видеть, что скорость $\vec{u}_{ц. м}$ направлена параллельно прямой $O_{1}O_{2}$. Так же направлены перемещение доски и ее ускорение.
Обозначим через $\vec{s}$ перемещение центра масс доски в тот момент, когда его скорость равна $\vec{u}{ц.м}$. В этот момент модуль скорости центра катков $| \vec{v} | = | \vec{u}_{ц. м} |/2 \cos \alpha$ и кинетическая энергия всей системы равна
$2 \frac{mv^{2} }{2} + \frac{mu_{ц.м}^{2} }{2} = \frac{u_{ц.м}^{2} }{4} (m \cos^{-2} \alpha + 2M )$.
Изменение кинетической энергии системы происходит за счет изменения потенциальной энергии доски:
$\frac{u_{ц.м}^{2} }{4} (m \cos^{-2} \alpha + 2M) = Mgh$,
где
$h = |s| \sin \alpha$, a $\sin \alpha = \frac{R - r}{l}$.
Так как доска движется равноускоренно (действующие на систему силы постоянны), справедливо равенство
$u_{ц.м}^{2} = 2|a| \cdot |s|$
($a$—ускорение доски).
Используя полученные соотношения, найдем
$|a| = \frac{2g (R- r)}{l \left ( 2 + \frac{m}{M} \frac{l^{2} }{l^{2} - (R - r)^{2} } \right ) }$.
Тяжелая доска массы $M$ лежит на двух тонкостенных катках радиусов $r$ и $R$ и равных масс $m$. Расстояние между центрами катков равно $l$. С каким ускорением начнет двигаться доска, если ее отпустить? Проскальзывание между всеми соприкасающимися телами отсутствует.
Решение:
Так как проскальзывание между всеми поверхностями отсутствует, то при движении доски и катков будут оставаться неизменными расстояние $| AB |$ между точками касания катков и горизонтальной плоскостью и равное ему расстояние $| A^{ \prime} B^{ \prime} |$ между точками касания катков и доски (рис.). Следовательно, не будет изменяться и расстояние $O_{1}O_{2} = l$ между центрами катков. А это означает, что скорости центров обоих катков в любой момент времени одинаковы и направлены по прямой $O_{1}O_{2}$.
Найдем направление скорости центра масс доски О. Пусть скорость центров катков равна $\vec{v}$. Тогда в системе отсчета, движущейся с этой скоростью, центры катков неподвижны, скорости же точек $A^{ \prime}$ и $B^{ \prime}$, а значит, и скорость $\vec{v}_{ц.м}$ центра масс доски равны по модулю $| \vec{v} |$ и направлены вдоль доски. В неподвижной относительно горизонтальной плоскости системе отсчета скорость $\vec{u}_{ц.м}$ центра масс доски равна векторной сумме скоростей $v_{ц.м}^{ \prime}$ и $\vec{v}$. Из рис. можно видеть, что скорость $\vec{u}_{ц. м}$ направлена параллельно прямой $O_{1}O_{2}$. Так же направлены перемещение доски и ее ускорение.
Обозначим через $\vec{s}$ перемещение центра масс доски в тот момент, когда его скорость равна $\vec{u}{ц.м}$. В этот момент модуль скорости центра катков $| \vec{v} | = | \vec{u}_{ц. м} |/2 \cos \alpha$ и кинетическая энергия всей системы равна
$2 \frac{mv^{2} }{2} + \frac{mu_{ц.м}^{2} }{2} = \frac{u_{ц.м}^{2} }{4} (m \cos^{-2} \alpha + 2M )$.
Изменение кинетической энергии системы происходит за счет изменения потенциальной энергии доски:
$\frac{u_{ц.м}^{2} }{4} (m \cos^{-2} \alpha + 2M) = Mgh$,
где
$h = |s| \sin \alpha$, a $\sin \alpha = \frac{R - r}{l}$.
Так как доска движется равноускоренно (действующие на систему силы постоянны), справедливо равенство
$u_{ц.м}^{2} = 2|a| \cdot |s|$
($a$—ускорение доски).
Используя полученные соотношения, найдем
$|a| = \frac{2g (R- r)}{l \left ( 2 + \frac{m}{M} \frac{l^{2} }{l^{2} - (R - r)^{2} } \right ) }$.
