Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6565
2018-03-10 
Длинный игрушечный поезд, составленный из большого числа сцепленных вагонов, едет по горизонтальным рельсам со скоростью $V$ и въезжает в «мертвую петлю» радиуса $R$ (радиус существенно превышает размер вагона, но длина поезда $L > 2 \pi R$). При какой скорости $V$ поезд преодолеет препятствие так, что ни один вагон не перестанет давить на рельсы во время движения?
Решение:
По мере подъема вагончиков на мертвую петлю скорость состава падает. Она достигнет минимума, когда петля будет целиком занята составом и после того перестанет уменьшаться, Легко, найти эту скорость $v$ из закона сохранения энергии
$\frac{Mv_{0}^{2} }{2} = \frac{Mv^{2} }{2} + \left ( M \frac{2 \pi R}{L} \right ) gR$, (1)
где $v_{0}$ - начальная скорость состава, $M$ - его масса, $M \frac{2 \pi R}{L}$ - масса вагончиков состава, находящихся на мертвой петле, и $R$ - высота центра масс этих вагончиков. Из (1) получаем
$v_{0}^{2} = v^{2} + \frac{4 \pi R}{L} gR$.
Чтобы вагончики не сошли с рельсов, необходимо наличие силы реакции со стороны рельсов. Наименьшей силе реакции соответствует наивысшая точка мертвой петли. Предельный случай отвечает нулевой реакции. При этом на вагончик в верхней точке действуют: сила тяжести $mg$ ($m$ - масса вагончика) и силы «натяжения» $T$ со стороны остального состава. Результирующая этих сил направлена вниз и должна сообщать необходимое центростремительное ускорение, т, е, она равна $m \frac{v^{2} }{R}$. Проекция каждой из сил $T$ на вертикаль (рис, a) равна $T \sin \frac{ \alpha }{2} \approx \frac{T \alpha}{2}$ (угол $\alpha$ мы считаем малым - это тот угол, под которым виден вагончик из центра мертвой петли, т. е. $\alpha = l/R$, где $l$ - длина вагончика), В результат приходим к соотношению
$2T \frac{ \alpha}{2} + mg = \frac{mv^{2} }{R}$ (2)
(заметим, что масса состава $M = m \frac{L}{l}$).
Учитывая, что $m = M \frac{l}{L} = M \alpha \frac{R}{L}$, получаем из предыдущего уравнения
$T + \frac{R}{L} Mg = M \frac{v^{2}}{L}$. (3)
Осталось теперь найти силу «натяжения» $T$. Для этого рассмотрим часть состава, которая забирается иа петлю (рис. б).
Пусть состав сместился на малую длину $\Delta x$, тогда эта сила произвела работу $\Delta A = T \Delta x$, но поскольку скорость состава не меняется, то работа $\Delta A$ должна быть равна изменению потенциальной энергии $\Delta U$. Это изменение определяется тем, что участок состава длины $\Delta x$ поднялся на высоту $2R$ и, значит, $\Delta U = \frac{M}{L} \Delta x 2R$. Итак, $T \Delta x = 2Rg \frac{M}{L} \Delta x$ и $T = 2gR \frac{M}{L}$. Подставляя это значение натяжения $T$ в (3), получим $\frac{Mv^{2} }{L} = \frac{3MgR}{L}$, т.е. $v^{2} = 3gR$, и уже легко находим исходную минимальную скорость состава
$v_{min} = \sqrt{ gR \left ( 3 + 4 \pi \frac{R}{L} \right ) }$.
Длинный игрушечный поезд, составленный из большого числа сцепленных вагонов, едет по горизонтальным рельсам со скоростью $V$ и въезжает в «мертвую петлю» радиуса $R$ (радиус существенно превышает размер вагона, но длина поезда $L > 2 \pi R$). При какой скорости $V$ поезд преодолеет препятствие так, что ни один вагон не перестанет давить на рельсы во время движения?
Решение:
По мере подъема вагончиков на мертвую петлю скорость состава падает. Она достигнет минимума, когда петля будет целиком занята составом и после того перестанет уменьшаться, Легко, найти эту скорость $v$ из закона сохранения энергии
$\frac{Mv_{0}^{2} }{2} = \frac{Mv^{2} }{2} + \left ( M \frac{2 \pi R}{L} \right ) gR$, (1)
где $v_{0}$ - начальная скорость состава, $M$ - его масса, $M \frac{2 \pi R}{L}$ - масса вагончиков состава, находящихся на мертвой петле, и $R$ - высота центра масс этих вагончиков. Из (1) получаем
$v_{0}^{2} = v^{2} + \frac{4 \pi R}{L} gR$.
Чтобы вагончики не сошли с рельсов, необходимо наличие силы реакции со стороны рельсов. Наименьшей силе реакции соответствует наивысшая точка мертвой петли. Предельный случай отвечает нулевой реакции. При этом на вагончик в верхней точке действуют: сила тяжести $mg$ ($m$ - масса вагончика) и силы «натяжения» $T$ со стороны остального состава. Результирующая этих сил направлена вниз и должна сообщать необходимое центростремительное ускорение, т, е, она равна $m \frac{v^{2} }{R}$. Проекция каждой из сил $T$ на вертикаль (рис, a) равна $T \sin \frac{ \alpha }{2} \approx \frac{T \alpha}{2}$ (угол $\alpha$ мы считаем малым - это тот угол, под которым виден вагончик из центра мертвой петли, т. е. $\alpha = l/R$, где $l$ - длина вагончика), В результат приходим к соотношению
$2T \frac{ \alpha}{2} + mg = \frac{mv^{2} }{R}$ (2)
(заметим, что масса состава $M = m \frac{L}{l}$).
Учитывая, что $m = M \frac{l}{L} = M \alpha \frac{R}{L}$, получаем из предыдущего уравнения
$T + \frac{R}{L} Mg = M \frac{v^{2}}{L}$. (3)
Осталось теперь найти силу «натяжения» $T$. Для этого рассмотрим часть состава, которая забирается иа петлю (рис. б).
Пусть состав сместился на малую длину $\Delta x$, тогда эта сила произвела работу $\Delta A = T \Delta x$, но поскольку скорость состава не меняется, то работа $\Delta A$ должна быть равна изменению потенциальной энергии $\Delta U$. Это изменение определяется тем, что участок состава длины $\Delta x$ поднялся на высоту $2R$ и, значит, $\Delta U = \frac{M}{L} \Delta x 2R$. Итак, $T \Delta x = 2Rg \frac{M}{L} \Delta x$ и $T = 2gR \frac{M}{L}$. Подставляя это значение натяжения $T$ в (3), получим $\frac{Mv^{2} }{L} = \frac{3MgR}{L}$, т.е. $v^{2} = 3gR$, и уже легко находим исходную минимальную скорость состава
$v_{min} = \sqrt{ gR \left ( 3 + 4 \pi \frac{R}{L} \right ) }$.
