Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6561
2018-03-10 
Из куска тонкой стальной ленты ширины $d$, в которой пробито небольшое отверстие радиуса $r$, сделали обруч и поставили его на стол так, что отверстие оказалось внизу. Из этого положения обруч немного сместили и предоставили самому себе. Чему равна максимальная скорость качения обруча?
Решение:
Описанное в условии начальное положение обруча неустойчиво. Будучи предоставлен самому себе, обруч начнет двигаться. Если трение достаточно велико, обруч катится без проскальзывания. Скорость обруча будет максимальной в тот момент, когда его потенциальная энергия будет минимальной, т. е. когда центр тяжести обруча будет в наинизшем положении. Это условие выполнится в тот момент, когда дырка окажется наверху на расстоянии $D$ от стола, равном диаметру обруча. Нетрудно сообразить, что уменьшение потенциальной энергии обруча $\Delta U$ при переходе дырки из нижнего положения (в начале движения) в верхнее равно
$\Delta U = \Delta m gD = \frac{M \pi r^{2}}{ \pi Dd} gD = \frac{Mr^{2}g }{d}$,
где $M$ — масса всего обруча, $\Delta m = \frac{M}{ \pi Dd} \pi r^{2}$ - «масса дырки» ($\Delta m < M$).
Это изменение потенциальной энергии равно кинетической энергии обруча в тот момент, когда дырка находится наверху. Кинетическая энергия обруча складывается из энергии поступательного движения обруча как целого $Mv^{2}/2$ ($v$ - скорость центра масс обруча в данный момент) и энергии вращательного движения $Mu^{2} /2$ ($u$—линейная скорость исех точек обруча).
При качении без проскальзывания $u = v$, и кинетическая энергия обруча равна $Mv^{2}$. Таким образом,
$Mv_{max}^{2} = \frac{Mr^{2}g }{d}$,
откуда
$v_{max} = r \sqrt{ \frac{g}{d} }$.
Из куска тонкой стальной ленты ширины $d$, в которой пробито небольшое отверстие радиуса $r$, сделали обруч и поставили его на стол так, что отверстие оказалось внизу. Из этого положения обруч немного сместили и предоставили самому себе. Чему равна максимальная скорость качения обруча?
Решение:
Описанное в условии начальное положение обруча неустойчиво. Будучи предоставлен самому себе, обруч начнет двигаться. Если трение достаточно велико, обруч катится без проскальзывания. Скорость обруча будет максимальной в тот момент, когда его потенциальная энергия будет минимальной, т. е. когда центр тяжести обруча будет в наинизшем положении. Это условие выполнится в тот момент, когда дырка окажется наверху на расстоянии $D$ от стола, равном диаметру обруча. Нетрудно сообразить, что уменьшение потенциальной энергии обруча $\Delta U$ при переходе дырки из нижнего положения (в начале движения) в верхнее равно
$\Delta U = \Delta m gD = \frac{M \pi r^{2}}{ \pi Dd} gD = \frac{Mr^{2}g }{d}$,
где $M$ — масса всего обруча, $\Delta m = \frac{M}{ \pi Dd} \pi r^{2}$ - «масса дырки» ($\Delta m < M$).
Это изменение потенциальной энергии равно кинетической энергии обруча в тот момент, когда дырка находится наверху. Кинетическая энергия обруча складывается из энергии поступательного движения обруча как целого $Mv^{2}/2$ ($v$ - скорость центра масс обруча в данный момент) и энергии вращательного движения $Mu^{2} /2$ ($u$—линейная скорость исех точек обруча).
При качении без проскальзывания $u = v$, и кинетическая энергия обруча равна $Mv^{2}$. Таким образом,
$Mv_{max}^{2} = \frac{Mr^{2}g }{d}$,
откуда
$v_{max} = r \sqrt{ \frac{g}{d} }$.
