ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-03-10   
Угол раствора гладкой конической поверхности $\alpha = \pi /2$, а ее ось образует с горизонтом угол $\alpha / 2$. К вершине конической поверхности изнутри нитью длины $l$ привязан тяжелый маленький шарик массы $m$. Какую минимальную горизонтальную скорость нужно сообщить шарику, чтобы он, не отрываясь от поверхности, описал замкнутую траекторию? Как будет при этом зависеть сила натяжения веревки от высоты подъема шарика над первоначальным его положением?


Решение:


Если в начальный момент времени шарику сообщить необходимую скорость $v_{0}$, то он будет двигаться по окружности радиуса $R = l \sin \frac{ \alpha}{2}$. Центр этой окружности находится на оси конической поверхности, а плоскость, в которой лежит окружность, составляет с горизонтом угол $\frac{ \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2}$. При движении шарика в произвольной точке его траектории на шарик действуют три силы—сила тяжести $m \vec{g}$, сила натяжения веревки $\vec{T}$ и сила нормальной реакции со стороны конической поверхности $\vec{N}$. Пусть в некоторый момент времени шарик, имея скорость $v$, находится на высоте $h$ над первоначальным уровнем и с начала своего движения описал дугу $\phi$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях:
1) на ось конуса, которая по условию задачи наклонена под углом $\alpha /2$ к горизонту -

$mg \sin \frac{ \alpha}{2} + N \sin \frac{ \alpha}{2} - T \cos \frac{ \alpha}{2} = 0$;

2) на мгновенную ось, проходящую через шарик и направленную в центр описываемой окружности —

$T \sin \frac{ \alpha}{2} + N \cos \frac{ \alpha}{2} - mg \cos \frac{ \alpha}{2} \cos \phi = \frac{mv^{2} }{l \sin \frac{ \alpha}{2}}$,

Из закона сохранения энергии получим

$v_{0}^{2} = v^{2} + 2gh$,

где высота $h$ связана с длиной веревки $l$, углами $\alpha$ и $\phi$ формулой

$h = l \sin \frac{ \alpha}{2} (1 - \cos \phi) \cos \frac{ \alpha}{2}$.

Тогда из полученной системы уравнений с учетом того, что $\cos \frac{ \alpha}{2} = \sin \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sqrt{2} }{2}$, находим зависимость $T(h)$:

$T = mg \left ( 1 - \frac{3h}{l} \right ) + \frac{mv_{0}^{2} }{l}$.

Требование минимальности начальной скорости означает, что в верхней точке траектории шарик будет находиться на грани отрыва от конической поверхности, т. е. сила нормальной реакции должна обратиться в нуль $N = 0$.
Так как верхняя точка траектории находится на высоте $h = l$, а сила натяжения $T = mg$, то для минимальной начальной скорости шарика получим выражение

$v_{0 min}^{2} = 3gl$ или $v_{0 min} = \sqrt{3gl}$.

Соответствующая зависимость силы натяжения веревки от высоты $T(h)$ примет вид

$T = mg \left ( 4 - \frac{3h}{l} \right )$.