Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6548
2018-03-10 
Внутрь камеры велосипедного колеса попал маленький камешек. Радиус колеса $R$, поверхность внутри — шероховатая, коэффициент трения $\mu$. Опишите возможные варианты движения камешка при различных скоростях.
Решение:
Ясно, что характер движения сильно зависит от начальных условий. Разберем характерные варианты (рис.).
1. Равновесие достигается в точке (касание внешней поверхности камеры), где
$mg \sin \alpha_{0} = \mu N$
и $N = mg \cos \alpha_{0}$ - сила реакции. (В этом случае камешек движется по прямой.) Тогда $tg \alpha_{0} = \mu$.
Есть и еще одна такая точка—наверху (касание внутренней поверхности камеры). Если там нет неоднородностей (в обычной камере есть ниппель), то все аналогично. В нижнем положении равновесие устойчиво, в верхнем — нет.
2. Для достаточно больших скоростей, когда $\omega > \omega_{min}$, возможно «прилипание» камешка—он при этом вращается вместе с колесом. Ясно, что равномерное движение колеса тут несущественно:
$mg \cos \alpha + N = m \omega^{2}R$,
$mg \sin \alpha - f_{тр} = 0$,
$f_{тр} \leq \mu N$,
отсюда
$\mu \geq \frac{ \sin \alpha}{ \omega^{2} R/g - \cos \alpha}$.
Самый «невыгодный» угол соответствует максимуму функций $\mu ( \alpha)$. Взяв производную по углу и приравняв ее нулю, получаем
$\cos \alpha_{1} = \frac{g}{ \omega^{2}R }$.
тогда
$\mu \geq \frac{ 1 }{ \sqrt{ \left ( \frac{\omega^{2} R }{g} \right )^{2} - 1 } }$ и $\omega_{min} = \sqrt{ \frac{g}{R} \sqrt{1 + \frac{1}{ \mu } } }$.
3. Если колесо катится само—без велосипеда, то при $\omega > \omega_{1}$ оно начнет прыгать (а вместе с ним и камешек, который нас интересует):
$\begin{cases} mg + N = m \omega_{1}^{2}R. \\ Mg - N = 0. \end{cases}$.
$\omega_{1} = \sqrt{ \frac{g}{R} \left ( 1 + \frac{M}{m} \right ) }$.
И, разумеется, во всех случаях возможны хаотические движения, когда камешек беспорядочно отражается от внутренних стенок.
Внутрь камеры велосипедного колеса попал маленький камешек. Радиус колеса $R$, поверхность внутри — шероховатая, коэффициент трения $\mu$. Опишите возможные варианты движения камешка при различных скоростях.
Решение:
Ясно, что характер движения сильно зависит от начальных условий. Разберем характерные варианты (рис.).
1. Равновесие достигается в точке (касание внешней поверхности камеры), где
$mg \sin \alpha_{0} = \mu N$
и $N = mg \cos \alpha_{0}$ - сила реакции. (В этом случае камешек движется по прямой.) Тогда $tg \alpha_{0} = \mu$.
Есть и еще одна такая точка—наверху (касание внутренней поверхности камеры). Если там нет неоднородностей (в обычной камере есть ниппель), то все аналогично. В нижнем положении равновесие устойчиво, в верхнем — нет.
2. Для достаточно больших скоростей, когда $\omega > \omega_{min}$, возможно «прилипание» камешка—он при этом вращается вместе с колесом. Ясно, что равномерное движение колеса тут несущественно:
$mg \cos \alpha + N = m \omega^{2}R$,
$mg \sin \alpha - f_{тр} = 0$,
$f_{тр} \leq \mu N$,
отсюда
$\mu \geq \frac{ \sin \alpha}{ \omega^{2} R/g - \cos \alpha}$.
Самый «невыгодный» угол соответствует максимуму функций $\mu ( \alpha)$. Взяв производную по углу и приравняв ее нулю, получаем
$\cos \alpha_{1} = \frac{g}{ \omega^{2}R }$.
тогда
$\mu \geq \frac{ 1 }{ \sqrt{ \left ( \frac{\omega^{2} R }{g} \right )^{2} - 1 } }$ и $\omega_{min} = \sqrt{ \frac{g}{R} \sqrt{1 + \frac{1}{ \mu } } }$.
3. Если колесо катится само—без велосипеда, то при $\omega > \omega_{1}$ оно начнет прыгать (а вместе с ним и камешек, который нас интересует):
$\begin{cases} mg + N = m \omega_{1}^{2}R. \\ Mg - N = 0. \end{cases}$.
$\omega_{1} = \sqrt{ \frac{g}{R} \left ( 1 + \frac{M}{m} \right ) }$.
И, разумеется, во всех случаях возможны хаотические движения, когда камешек беспорядочно отражается от внутренних стенок.
