Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6540
2018-03-04 
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно $d$, должны добраться $n$ велосипедистов, у которых имеется $m$ одноместных велосипедов ($m < n$). Каждый велосипедист идет пешком со скоростью $u$, а едет на велосипеде со скоростью $v$. За какое наименьшее время все $n$ велосипедистов смогут попасть из Л в В? Время считается по последнему прибывшему. Велосипед можно оставлять на дороге без присмотра.
Решение:
Разобьем решение задачи на две части. Вначале, исходя из возможностей движения каждой из «точек системы» (каждого велосипедиста) в отдельности, найдем наименьшее время передвижения всей «системы точек». А затем опишем один из возможных способов движения, реализующих это наименьшее время.
Покажем, что в нашей задаче наименьшее время передвижения
$t_{min} = \frac{d}{v} \frac{m}{n} + \frac{d}{u} \frac{n-m}{n}$,
причем каждый из велосипедистов при таком движении проходит расстояние $d \frac{n - m}{n}$ пешком (со скоростью $u$), а оставшееся расстояние $d \frac{m}{n}$ проезжает на велосипеде (со скоростью $v$), а все велосипедисты добираются из A в В одновременно. Действительно, так как каждый из велосипедистов в общей сложности перемещается на расстояние $d$ (из А в В), в итоге все $m$ велосипедистов проедут путь $md$. Если какой-нибудь из велосипедистов проедет на велосипеде путь, больший $d \frac{m}{n}$, то найдется велосипедист, который проедет на велосипеде путь $d_{1} < d \frac{m}{n}$. Пешком этот велосипедист пройдет путь $d - d_{1}$. Полное время движения этого велосипедиста
$t_{1} = \frac{d_{1} }{v} + \frac{d - d_{1}}{u} = \frac{d}{u} + d_{1} \left ( \frac{1}{v} - \frac{1}{u} \right )$.
Так как по условию задачи $u < v$, а по предположению $d_{1} < d \frac{m}{n}$, для времени $t_{1}$ получим
$t_{1} > \frac{d}{u} + d \frac{m}{n} \left ( \frac{1}{v} - \frac{1}{u} \right )$.
Очевидно, общее время движения группы Т (которое засчитывается по последнему прибывшему) будет удовлетворять условию $T \geq t_{1} > t_{min}$. Поэтому движение, при котором какой-нибудь велосипедист проезжает на велосипеде путь не $d \frac{m}{n}$, не будет «оптимальным».
Укажем теперь, как должны вести себя велосипедисты, чтобы общее время передвижения было равно $t_{min}$. Это удобно сделать с помощью «столбов».
Будем считать, что вдоль дороги на одинаковых расстояниях друг от друга расставлены $n$ столбов: $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$, причем последний столб - в пункте В. Способ передвижения состоит в следующем, $m$ велосипедистов садятся на $m$ велосипедов и проезжают вдоль дороги: первый—до столба $k_{1}$, второй—до столба $k_{2}, \cdots$, $m$-й — до столба $k_{m}$. После этого они оставляют велосипеды на дороге (у столбов $k_{1}, \cdots, k_{m}$ соответственно) и дальше идут пешком. При этом первый велосипедист доходит до столба $k_{n-m+1}$, второй — до столба $k_{n-m+2}$, а $m$-й велосипедист доходит до пункта В. $n - m$ велосипедистов, которым не достались велосипеды, идут из пункта А пешком. Они последовательно доходят до столбов $k_{1}, \cdots, k_{n-m}$, садятся на оставленные там велосипеды и дальше уже едут—до столбов $k_{m+1}, k_{m+2}, \cdots, k_{n}$ (т. е. «последний» из этих велосипедистов приезжает в пункт В). Велосипедист, вначале доехавший до столба $k_{1}$, а затем дошедший до столба $k_{n - m + 1}$, садится на стоящий там велосипед (оставленный велосипедистом из первой или из второй группы) и заканчивает свое движение на велосипеде. Велосипедист, вначале доехавший до столба $k_{2}$, а затем дошедший до столба $k_{n - m + 2}$, садится на велосипед, оставленный велосипедистом, доехавшим до этого столба, и также заканчивает свое путешествие на велосипеде. И так далее.
Велосипедисты, которые вначале шли пешком, а потом ехали на велосипедах, оставляют (кроме последнего из них) свои велосипеды у столбов $k_{m+1}, \cdots, k_{n-1}$ соответственно и доходяг до пункта В пешком. Идущие пешком велосипедисты, начавшие свое движение на велосипедах, «подбирают» оставленные у соответствующих столбов велосипеды, садятся на них и доезжают до В.
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно $d$, должны добраться $n$ велосипедистов, у которых имеется $m$ одноместных велосипедов ($m < n$). Каждый велосипедист идет пешком со скоростью $u$, а едет на велосипеде со скоростью $v$. За какое наименьшее время все $n$ велосипедистов смогут попасть из Л в В? Время считается по последнему прибывшему. Велосипед можно оставлять на дороге без присмотра.
Решение:
Разобьем решение задачи на две части. Вначале, исходя из возможностей движения каждой из «точек системы» (каждого велосипедиста) в отдельности, найдем наименьшее время передвижения всей «системы точек». А затем опишем один из возможных способов движения, реализующих это наименьшее время.
Покажем, что в нашей задаче наименьшее время передвижения
$t_{min} = \frac{d}{v} \frac{m}{n} + \frac{d}{u} \frac{n-m}{n}$,
причем каждый из велосипедистов при таком движении проходит расстояние $d \frac{n - m}{n}$ пешком (со скоростью $u$), а оставшееся расстояние $d \frac{m}{n}$ проезжает на велосипеде (со скоростью $v$), а все велосипедисты добираются из A в В одновременно. Действительно, так как каждый из велосипедистов в общей сложности перемещается на расстояние $d$ (из А в В), в итоге все $m$ велосипедистов проедут путь $md$. Если какой-нибудь из велосипедистов проедет на велосипеде путь, больший $d \frac{m}{n}$, то найдется велосипедист, который проедет на велосипеде путь $d_{1} < d \frac{m}{n}$. Пешком этот велосипедист пройдет путь $d - d_{1}$. Полное время движения этого велосипедиста
$t_{1} = \frac{d_{1} }{v} + \frac{d - d_{1}}{u} = \frac{d}{u} + d_{1} \left ( \frac{1}{v} - \frac{1}{u} \right )$.
Так как по условию задачи $u < v$, а по предположению $d_{1} < d \frac{m}{n}$, для времени $t_{1}$ получим
$t_{1} > \frac{d}{u} + d \frac{m}{n} \left ( \frac{1}{v} - \frac{1}{u} \right )$.
Очевидно, общее время движения группы Т (которое засчитывается по последнему прибывшему) будет удовлетворять условию $T \geq t_{1} > t_{min}$. Поэтому движение, при котором какой-нибудь велосипедист проезжает на велосипеде путь не $d \frac{m}{n}$, не будет «оптимальным».
Укажем теперь, как должны вести себя велосипедисты, чтобы общее время передвижения было равно $t_{min}$. Это удобно сделать с помощью «столбов».
Будем считать, что вдоль дороги на одинаковых расстояниях друг от друга расставлены $n$ столбов: $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$, причем последний столб - в пункте В. Способ передвижения состоит в следующем, $m$ велосипедистов садятся на $m$ велосипедов и проезжают вдоль дороги: первый—до столба $k_{1}$, второй—до столба $k_{2}, \cdots$, $m$-й — до столба $k_{m}$. После этого они оставляют велосипеды на дороге (у столбов $k_{1}, \cdots, k_{m}$ соответственно) и дальше идут пешком. При этом первый велосипедист доходит до столба $k_{n-m+1}$, второй — до столба $k_{n-m+2}$, а $m$-й велосипедист доходит до пункта В. $n - m$ велосипедистов, которым не достались велосипеды, идут из пункта А пешком. Они последовательно доходят до столбов $k_{1}, \cdots, k_{n-m}$, садятся на оставленные там велосипеды и дальше уже едут—до столбов $k_{m+1}, k_{m+2}, \cdots, k_{n}$ (т. е. «последний» из этих велосипедистов приезжает в пункт В). Велосипедист, вначале доехавший до столба $k_{1}$, а затем дошедший до столба $k_{n - m + 1}$, садится на стоящий там велосипед (оставленный велосипедистом из первой или из второй группы) и заканчивает свое движение на велосипеде. Велосипедист, вначале доехавший до столба $k_{2}$, а затем дошедший до столба $k_{n - m + 2}$, садится на велосипед, оставленный велосипедистом, доехавшим до этого столба, и также заканчивает свое путешествие на велосипеде. И так далее.
Велосипедисты, которые вначале шли пешком, а потом ехали на велосипедах, оставляют (кроме последнего из них) свои велосипеды у столбов $k_{m+1}, \cdots, k_{n-1}$ соответственно и доходяг до пункта В пешком. Идущие пешком велосипедисты, начавшие свое движение на велосипедах, «подбирают» оставленные у соответствующих столбов велосипеды, садятся на них и доезжают до В.
