Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6537
2018-03-04 
Из точки А, находящейся на вершине крутого обрыва на высоте $H$ над горизонтом бросают небольшой предмет в точку В горизонтальной поверхности, находящуюся от обрыва на расстоянии $l$ (рис.). Чему равна минимальная скорость броска? Под каким углом $\alpha$ к горизонту должен при этом быть совершен бросок? С какой скоростью предмет упадет на горизонтальную поверхность? Чему будет равен угол падения на горизонтальную поверхность В?
Решение:
Введем оси координат х и у, как указано на рис. Пусть бросок совершается под углом $\alpha$ и со скоростью $v$. Тогда условие падения предмета в точку В через время $t$ запишем в виде двух условий:
по горизонтали
$l = v \cos \alpha t$
и по вертикали
$0 = H + v \sin \alpha t - gt^{2}/2$.
Исключив в этих уравнениях время $t$, получим квадратное уравнение относительно $tg \alpha$:
$\frac{gl^{2} }{2v^{2} } tg^{2} \alpha - l tg \alpha + \frac{gl^{2} }{2v^{2} } - H = 0$.
Полученное квадратное уравнение означает, что при данных $l$ и $H$ и при данном значении скорости о может реализоваться одна из трех возможностей: во-первых, $v$ настолько мало, что ни при каком угле бросания предмет не долетит до точки В: во-вторых, при некотором значении скорости $v_{min}$ (когда дискриминант квадратного уравнения обращается в нуль) существует только один угол бросания предмета, обеспечивающий попадание в точку В; в-третьих, наконец, при значениях скорости $v > v_{min}$ попасть в точку В можно по двум траекториям.
По условию задачи нас интересует второй случай. Следовательно, приравнивая нулю дискриминант квадратного уравнения, и получим искомую скорость бросания
$v_{min}^{2} = g( \sqrt{H^{2} + l^{2} } - H )$.
Угол бросания при этом найдем по формуле
$tg \alpha = \frac{v_{min}^{2} }{gl} = \sqrt{ 1 + \left ( \frac{H}{l} \right )^{2} } - \frac{H}{l}$,
откуда
$tg \alpha = tg \left ( \frac{ \pi}{4} - \frac{ \phi}{2} \right )$ (где $tg \phi = \frac{H}{l}$ и $\alpha = \frac{ \pi }{4} - \frac{ \phi}{2}$).
Используя закон сохранения энергии, найдем скорость $v_{1}$, с которой предмет попадет в точку В:
$v_{1}^{2} = g ( \sqrt{H^{2} + l^{2} } + H )$,
а из условия сохранения горизонтальной составляющей скорости при полете предмета получим после несложных преобразований и угол падения в точке В:
$\beta = \frac{ \pi}{4} + \frac{ \phi}{2}$.
Из точки А, находящейся на вершине крутого обрыва на высоте $H$ над горизонтом бросают небольшой предмет в точку В горизонтальной поверхности, находящуюся от обрыва на расстоянии $l$ (рис.). Чему равна минимальная скорость броска? Под каким углом $\alpha$ к горизонту должен при этом быть совершен бросок? С какой скоростью предмет упадет на горизонтальную поверхность? Чему будет равен угол падения на горизонтальную поверхность В?
Решение:
Введем оси координат х и у, как указано на рис. Пусть бросок совершается под углом $\alpha$ и со скоростью $v$. Тогда условие падения предмета в точку В через время $t$ запишем в виде двух условий:
по горизонтали
$l = v \cos \alpha t$
и по вертикали
$0 = H + v \sin \alpha t - gt^{2}/2$.
Исключив в этих уравнениях время $t$, получим квадратное уравнение относительно $tg \alpha$:
$\frac{gl^{2} }{2v^{2} } tg^{2} \alpha - l tg \alpha + \frac{gl^{2} }{2v^{2} } - H = 0$.
Полученное квадратное уравнение означает, что при данных $l$ и $H$ и при данном значении скорости о может реализоваться одна из трех возможностей: во-первых, $v$ настолько мало, что ни при каком угле бросания предмет не долетит до точки В: во-вторых, при некотором значении скорости $v_{min}$ (когда дискриминант квадратного уравнения обращается в нуль) существует только один угол бросания предмета, обеспечивающий попадание в точку В; в-третьих, наконец, при значениях скорости $v > v_{min}$ попасть в точку В можно по двум траекториям.
По условию задачи нас интересует второй случай. Следовательно, приравнивая нулю дискриминант квадратного уравнения, и получим искомую скорость бросания
$v_{min}^{2} = g( \sqrt{H^{2} + l^{2} } - H )$.
Угол бросания при этом найдем по формуле
$tg \alpha = \frac{v_{min}^{2} }{gl} = \sqrt{ 1 + \left ( \frac{H}{l} \right )^{2} } - \frac{H}{l}$,
откуда
$tg \alpha = tg \left ( \frac{ \pi}{4} - \frac{ \phi}{2} \right )$ (где $tg \phi = \frac{H}{l}$ и $\alpha = \frac{ \pi }{4} - \frac{ \phi}{2}$).
Используя закон сохранения энергии, найдем скорость $v_{1}$, с которой предмет попадет в точку В:
$v_{1}^{2} = g ( \sqrt{H^{2} + l^{2} } + H )$,
а из условия сохранения горизонтальной составляющей скорости при полете предмета получим после несложных преобразований и угол падения в точке В:
$\beta = \frac{ \pi}{4} + \frac{ \phi}{2}$.
