Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6532
2018-03-04 
Цилиндр с намотанной на него нитью, второй конец которой закреплен, скатывается с гладкой наклонной плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом. Зная, что в момент, когда нить вертикальна, угловая скорость вращения цилиндра равна $\omega$, найдите: а) скорость движения его оси. б) скорость точки его касания с наклоняй плоскостью. Радиус цилиндра равен $R$ (рис.).
Решение:
Прежде чем решать данную задачу, обсудим более подробно следующую ситуацию. Предположим, что нерастяжимая веревка одним своим концом закреплена, а с противоположного конца намотана на подвижный цилиндр (и в процессе движения цилиндра образует плоскую кривую). Пусть также известно, что в процессе общего движения цилиндра и веревки последняя всегда натянута. Это означает, что в каждый момент времени часть веревки представляет собой отрезок прямой, касательной цилиндру, а оставшаяся часть веревки намотана на цилиндр. Так как веревка нерастяжима, то те ее точки, которые лежат на отрезке прямой, будут иметь векторы скорости, перпендикулярные веревке. Точки же участка веревки, намотанного на цилиндр (образующие дугу окружности), относительно цилиндра скользить не могут, в противном случае веревка либо порвалась бы, либо провисла. Это означает, что скорости этих точек веревки в любой момент времени совпадают со скоростями тех точек цилиндра, которых они касаются. Этот участок веревки как бы образует с цилиндром нечто целое. Особое положение занимает точка веревки, являющаяся местом сопряжения прямолинейного и криволинейного участков веревки. Она обладает свойствами точек как прямолинейного, так и криволинейного участка. Поэтому, с одной стороны, ее скорость обязана быть направлена перпендикулярно веревке, а с другой стороны, она не может скользить по цилиндру. Но тогда и касательная с ней точка цилиндра будет иметь скорость, перпендикулярную прямолинейному участку веревки.
Рассмотрим теперь момент времени, когда прямолинейный участок нити вертикален (рис.). В силу сказанного выше нижняя точка ее вертикального участка и соприкасающаяся с ней точка цилиндра А имеют одинаковую, горизонтально направленную скорость $\vec{v}_{A}$. Представим себе движение цилиндра как сумму поступательного движения со скоростью его оси $\vec{v}_{0}$, направленной параллельно наклонной плоскости (под углом $\alpha$ к горизонтали) и вращения по часовой стрелке с угловой скоростью $\omega$. В этом случае скорость точки А представим в виде
$\vec{v}_{A} = \vec{v}_{вр}^{ \prime} + \vec{v}_{0}$,
причем, как нетрудно видеть, $| \vec{v}_{вp}^{ \prime} | = \omega R, \vec{v}_{A} \perp \vec{v}_{вр}$, откуда
$v_{0} = \omega R / \sin \alpha$.
Аналогичное соотношение получим для точки С
$\vec{v}_{C} = \vec{v}_{0} + \vec{v}_{вр}^{ \prime \prime}$,
причем, поскольку вектор скорости точки С направлен вдоль наклонной плоскости, получим алгебраическое соотношение
$v_{c} = v_{0} - \omega R$,
откуда
$v_{c} = \frac{ \omega R}{ \sin \alpha} - \omega R = \omega R \frac{1 - \sin \alpha}{ \sin \alpha}$,
$v_{A} = v_{0} \cos \alpha = \omega R ctg \alpha$.
Итак,
$v_{0} = \frac{ \omega R}{ \sin \alpha}$
$v_{c} = \frac{ \omega R (1 - \sin \alpha) }{ \sin \alpha}$.
Цилиндр с намотанной на него нитью, второй конец которой закреплен, скатывается с гладкой наклонной плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом. Зная, что в момент, когда нить вертикальна, угловая скорость вращения цилиндра равна $\omega$, найдите: а) скорость движения его оси. б) скорость точки его касания с наклоняй плоскостью. Радиус цилиндра равен $R$ (рис.).
Решение:
Прежде чем решать данную задачу, обсудим более подробно следующую ситуацию. Предположим, что нерастяжимая веревка одним своим концом закреплена, а с противоположного конца намотана на подвижный цилиндр (и в процессе движения цилиндра образует плоскую кривую). Пусть также известно, что в процессе общего движения цилиндра и веревки последняя всегда натянута. Это означает, что в каждый момент времени часть веревки представляет собой отрезок прямой, касательной цилиндру, а оставшаяся часть веревки намотана на цилиндр. Так как веревка нерастяжима, то те ее точки, которые лежат на отрезке прямой, будут иметь векторы скорости, перпендикулярные веревке. Точки же участка веревки, намотанного на цилиндр (образующие дугу окружности), относительно цилиндра скользить не могут, в противном случае веревка либо порвалась бы, либо провисла. Это означает, что скорости этих точек веревки в любой момент времени совпадают со скоростями тех точек цилиндра, которых они касаются. Этот участок веревки как бы образует с цилиндром нечто целое. Особое положение занимает точка веревки, являющаяся местом сопряжения прямолинейного и криволинейного участков веревки. Она обладает свойствами точек как прямолинейного, так и криволинейного участка. Поэтому, с одной стороны, ее скорость обязана быть направлена перпендикулярно веревке, а с другой стороны, она не может скользить по цилиндру. Но тогда и касательная с ней точка цилиндра будет иметь скорость, перпендикулярную прямолинейному участку веревки.
Рассмотрим теперь момент времени, когда прямолинейный участок нити вертикален (рис.). В силу сказанного выше нижняя точка ее вертикального участка и соприкасающаяся с ней точка цилиндра А имеют одинаковую, горизонтально направленную скорость $\vec{v}_{A}$. Представим себе движение цилиндра как сумму поступательного движения со скоростью его оси $\vec{v}_{0}$, направленной параллельно наклонной плоскости (под углом $\alpha$ к горизонтали) и вращения по часовой стрелке с угловой скоростью $\omega$. В этом случае скорость точки А представим в виде
$\vec{v}_{A} = \vec{v}_{вр}^{ \prime} + \vec{v}_{0}$,
причем, как нетрудно видеть, $| \vec{v}_{вp}^{ \prime} | = \omega R, \vec{v}_{A} \perp \vec{v}_{вр}$, откуда
$v_{0} = \omega R / \sin \alpha$.
Аналогичное соотношение получим для точки С
$\vec{v}_{C} = \vec{v}_{0} + \vec{v}_{вр}^{ \prime \prime}$,
причем, поскольку вектор скорости точки С направлен вдоль наклонной плоскости, получим алгебраическое соотношение
$v_{c} = v_{0} - \omega R$,
откуда
$v_{c} = \frac{ \omega R}{ \sin \alpha} - \omega R = \omega R \frac{1 - \sin \alpha}{ \sin \alpha}$,
$v_{A} = v_{0} \cos \alpha = \omega R ctg \alpha$.
Итак,
$v_{0} = \frac{ \omega R}{ \sin \alpha}$
$v_{c} = \frac{ \omega R (1 - \sin \alpha) }{ \sin \alpha}$.
