Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 653
2014-06-01 
Найдите силу взаимодействия $F$ двух соприкасающихся по всей поверхности полусфер радиуса $R$, если одна из них равномерно заряжена с поверхностной плотностью $\sigma_{1}$, а другая $\sigma_{2}$
Решение:
Выберем два небольших произвольных участка площадью $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$, принадлежащих первой и второй полусферам. Пусть расстояние между этими участками равно $r_{12}$. Силу взаимодействия этих участков $\Delta F_{12}$ определим из закона Кулона:
$\Delta F_{12} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{r^{2}_{12}} \sigma_{1} \Delta S_{1} \sigma_{1} \Delta S_{2} = \frac{\Delta S_{1} \Delta S_{2}}{4 \pi\varepsilon_{0} r^{2}_{12}} \sigma_{1} \sigma_{2}$.
При нахождении обшей силы взаимодействия полусфер мы должны, исходя из принципа суперпозиции, просуммировать силы $\Delta F_{l2}$ для всех взаимодействующих пар участков, так что результирующая сила взаимодействия полусфер $F$ примет вид
$F= k \sigma_{1} \sigma_{2}$,
где коэффициент $k$ определяется лишь геометрией расположения зарядов и выбором системы единиц. Если бы полусферы были заряжены с одинаковой поверхностной плотностью заряда, $\sigma$, соответствующая сила взаимодействия полусфер $\tilde{F}$ была бы равна
$\tilde{F}=k \sigma^{2}$,
где коэффициент $k$ тот же, что и в предыдущей формуле.
Найдем силу $\tilde{F}$. Для этого рассмотрим «верхнюю» полусферу. Небольшой ее участок площадью $\Delta S$ несет заряд $\Delta q = \sigma \Delta S$ и находится под действием электрического поля, напряженность которого $E^{\prime}$ составляет половину напряженности сферы радиуса $R$, равномерно заряженной по поверхности с плотностью заряда $\sigma$. (Мы должны исключить из напряженности ту ее часть, которая создастся самим зарядом $\Delta q$.). На заряд $\Delta q$ действует сила
$\Delta F = \Delta q E^{\prime} = \sigma \Delta S \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sigma \frac{4 \pi R^{2}}{R^{2} \cdot 2} = \frac{\sigma^{2}}{ 2 \varepsilon_{0}} \Delta S$,
которая направлена перпендикулярно поверхности участка. Чтобы найти силу, действующую на верхнюю полусферу, заметим, что из выражения для силы $\Delta F$ следует, что полусфера как бы находится под действием эффективного давления $p = \sigma^{2}/(2 \varepsilon_{0})$. Отсюда общая сила $\tilde{F}$, действующая на верхнюю полусферу, равна
$\tilde{F} = p \pi R^{2}= \frac{\sigma^{2}}{2 \varepsilon_{0}} \pi R^{2}$
(хотя в выражение $\Delta F$ для силы, действующей на участок $\Delta S$, даст вклад не только «нижняя» полусфера, но и все остальные участки «верхней» полусферы, в общем выражении для силы взаимодействия полусфер, найденном выше, силы взаимодействия участков верхней полусферы между собой взаимно сократятся.)
Поскольку $\tilde{F} = k \sigma^{2}$, получим следующее выражение для силы взаимодействия полусфер в случае их разной поверхностной плотности зарядов:
$F=k \sigma_{1} \sigma_{2} = \frac{\pi R^{2}}{2 \varepsilon_{0}} \sigma_{1} \sigma_{2}$
Найдите силу взаимодействия $F$ двух соприкасающихся по всей поверхности полусфер радиуса $R$, если одна из них равномерно заряжена с поверхностной плотностью $\sigma_{1}$, а другая $\sigma_{2}$
Решение:
Выберем два небольших произвольных участка площадью $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$, принадлежащих первой и второй полусферам. Пусть расстояние между этими участками равно $r_{12}$. Силу взаимодействия этих участков $\Delta F_{12}$ определим из закона Кулона:
$\Delta F_{12} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{r^{2}_{12}} \sigma_{1} \Delta S_{1} \sigma_{1} \Delta S_{2} = \frac{\Delta S_{1} \Delta S_{2}}{4 \pi\varepsilon_{0} r^{2}_{12}} \sigma_{1} \sigma_{2}$.
При нахождении обшей силы взаимодействия полусфер мы должны, исходя из принципа суперпозиции, просуммировать силы $\Delta F_{l2}$ для всех взаимодействующих пар участков, так что результирующая сила взаимодействия полусфер $F$ примет вид
$F= k \sigma_{1} \sigma_{2}$,
где коэффициент $k$ определяется лишь геометрией расположения зарядов и выбором системы единиц. Если бы полусферы были заряжены с одинаковой поверхностной плотностью заряда, $\sigma$, соответствующая сила взаимодействия полусфер $\tilde{F}$ была бы равна
$\tilde{F}=k \sigma^{2}$,
где коэффициент $k$ тот же, что и в предыдущей формуле.
Найдем силу $\tilde{F}$. Для этого рассмотрим «верхнюю» полусферу. Небольшой ее участок площадью $\Delta S$ несет заряд $\Delta q = \sigma \Delta S$ и находится под действием электрического поля, напряженность которого $E^{\prime}$ составляет половину напряженности сферы радиуса $R$, равномерно заряженной по поверхности с плотностью заряда $\sigma$. (Мы должны исключить из напряженности ту ее часть, которая создастся самим зарядом $\Delta q$.). На заряд $\Delta q$ действует сила
$\Delta F = \Delta q E^{\prime} = \sigma \Delta S \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sigma \frac{4 \pi R^{2}}{R^{2} \cdot 2} = \frac{\sigma^{2}}{ 2 \varepsilon_{0}} \Delta S$,
которая направлена перпендикулярно поверхности участка. Чтобы найти силу, действующую на верхнюю полусферу, заметим, что из выражения для силы $\Delta F$ следует, что полусфера как бы находится под действием эффективного давления $p = \sigma^{2}/(2 \varepsilon_{0})$. Отсюда общая сила $\tilde{F}$, действующая на верхнюю полусферу, равна
$\tilde{F} = p \pi R^{2}= \frac{\sigma^{2}}{2 \varepsilon_{0}} \pi R^{2}$
(хотя в выражение $\Delta F$ для силы, действующей на участок $\Delta S$, даст вклад не только «нижняя» полусфера, но и все остальные участки «верхней» полусферы, в общем выражении для силы взаимодействия полусфер, найденном выше, силы взаимодействия участков верхней полусферы между собой взаимно сократятся.)
Поскольку $\tilde{F} = k \sigma^{2}$, получим следующее выражение для силы взаимодействия полусфер в случае их разной поверхностной плотности зарядов:
$F=k \sigma_{1} \sigma_{2} = \frac{\pi R^{2}}{2 \varepsilon_{0}} \sigma_{1} \sigma_{2}$
