Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6529
2018-03-04 
В пространстве движется деревянный куб (рис.). В некоторый момент времени грань ABCD оказалась горизонтальной, а скорости вершин куба А и В направлены вертикально вниз и равны $v$ по модулю. Известно, что скорость вершины куба С в этот же момент времени равна по модулю: a) $2v$, б) $v/2$. Какую максимальную по модулю скорость могут иметь в этот момент другие точки куба?
Решение:
В задаче, очевидно, подразумевается, что размеры куба в процессе его движения не меняются. Это, в свою очередь, означает, что расстояние между парой любых точек куба с течением времени остается неизменным. Тогда из равенства скоростей концов ребра куба АВ будет следовать, что и все точки ребра куба АВ в данный момент времени движутся вниз со скоростью $v$. Сложное движение куба можно представить в данный момент времени как сумму поступательного движения вместе с ребром куба АВ и вращения относительно оси, проходящей через вершины куба A и В. Отсюда следует, что движения всех сечений куба, перпендикулярных ребру куба АВ, будут совершенно одинаковыми. Поэтому для ответа на вопросы задачи достаточно рассмотреть движение грани куба $BCC^{ \prime} B$ (рис. а). Из неизменности длИны ребра куба ВС следует, что в данный момент времени вектор скорости точки С также вертикален и направлен либо вверх, либо вниз.
Рассмотрим первый случай (рис. б). Пусть длина ребра куба равна $l$. Нетрудно понять, что точка Е ребра ВС, такая, что $BE/EC = 1/2$, будет иметь в данный момент нулевую скорость. В таком случае говорят, что точка Е - центр мгновенного вращения грани $BCC^{ \prime} B$. Очевидно, максимальную скорость будет иметь та точка грани $BCC^{ \prime}B^{ \prime}$, которая максимально удалена от точки Е. Этому условию отвечает точка $C^{ \prime}$ - вершина куба. При этом так как расстояние между точками E и $C^{ \prime}$ равно $l_{EG^{\prime}} =l \sqrt{13}/3$, а расстояние между точкой Е и вершиной В равно $l/3 = l_{EB}$, то $v_{C}/v_{B} = l_{EC} / l_{EB} = \sqrt{13}$, где $v_{G^{ \prime}}$ - скорость точки $C^{ \prime}$, $v_{B}$ - скорость точки В, $v_{B} = v$, Таким образом, $v_{G^{ \prime} } = v \sqrt{13}$.
Второй случай отвечает ситуации, когда точка С, как и точки А и В, движется вниз (рис. в). В этом случае центр мгновенного вращения грани $BCC^{ \prime} B^{ \prime}$ - точка $E^{ \prime}$ - будет лежать на продолжении отрезка ВС на расстоянии $l$ от точки Е. Максимально возможную скорость в данном случае будет опять-таки иметь точка, максимально удаленная от центра мгновенного вращения. Мы видим, что и в этом случае искомой точкой будет точка $C^{ \prime}$, находящаяся от точки $E^{ \prime}$ на расстоянии $l_{E^{ \prime}G^{ \prime} } = l \sqrt{5}$, поэтому скорость точки $C^{ \prime}$ теперь будет равна $v_{G^{ \prime} } = v_{B} \frac{l \sqrt{5} }{l} = v \sqrt{5}$.
Для упоминаемого в условии задачи случая б) нетрудно понять, что максимальную скорость для обеих возможностей будет иметь теперь точка $B^{ \prime}$, причем если точка С движется вниз, то скорость точки $B^{ \prime}$ будет равна $v_{B^{ \prime} } = v \sqrt{13} /2$, при движении точки куба С вверх скорость точки $B^{ \prime}$ будет максимально возможной и равной $v_{B^{ \prime}} = \frac{v}{2} \sqrt{5}$.
В пространстве движется деревянный куб (рис.). В некоторый момент времени грань ABCD оказалась горизонтальной, а скорости вершин куба А и В направлены вертикально вниз и равны $v$ по модулю. Известно, что скорость вершины куба С в этот же момент времени равна по модулю: a) $2v$, б) $v/2$. Какую максимальную по модулю скорость могут иметь в этот момент другие точки куба?
Решение:
В задаче, очевидно, подразумевается, что размеры куба в процессе его движения не меняются. Это, в свою очередь, означает, что расстояние между парой любых точек куба с течением времени остается неизменным. Тогда из равенства скоростей концов ребра куба АВ будет следовать, что и все точки ребра куба АВ в данный момент времени движутся вниз со скоростью $v$. Сложное движение куба можно представить в данный момент времени как сумму поступательного движения вместе с ребром куба АВ и вращения относительно оси, проходящей через вершины куба A и В. Отсюда следует, что движения всех сечений куба, перпендикулярных ребру куба АВ, будут совершенно одинаковыми. Поэтому для ответа на вопросы задачи достаточно рассмотреть движение грани куба $BCC^{ \prime} B$ (рис. а). Из неизменности длИны ребра куба ВС следует, что в данный момент времени вектор скорости точки С также вертикален и направлен либо вверх, либо вниз.
Рассмотрим первый случай (рис. б). Пусть длина ребра куба равна $l$. Нетрудно понять, что точка Е ребра ВС, такая, что $BE/EC = 1/2$, будет иметь в данный момент нулевую скорость. В таком случае говорят, что точка Е - центр мгновенного вращения грани $BCC^{ \prime} B$. Очевидно, максимальную скорость будет иметь та точка грани $BCC^{ \prime}B^{ \prime}$, которая максимально удалена от точки Е. Этому условию отвечает точка $C^{ \prime}$ - вершина куба. При этом так как расстояние между точками E и $C^{ \prime}$ равно $l_{EG^{\prime}} =l \sqrt{13}/3$, а расстояние между точкой Е и вершиной В равно $l/3 = l_{EB}$, то $v_{C}/v_{B} = l_{EC} / l_{EB} = \sqrt{13}$, где $v_{G^{ \prime}}$ - скорость точки $C^{ \prime}$, $v_{B}$ - скорость точки В, $v_{B} = v$, Таким образом, $v_{G^{ \prime} } = v \sqrt{13}$.
Второй случай отвечает ситуации, когда точка С, как и точки А и В, движется вниз (рис. в). В этом случае центр мгновенного вращения грани $BCC^{ \prime} B^{ \prime}$ - точка $E^{ \prime}$ - будет лежать на продолжении отрезка ВС на расстоянии $l$ от точки Е. Максимально возможную скорость в данном случае будет опять-таки иметь точка, максимально удаленная от центра мгновенного вращения. Мы видим, что и в этом случае искомой точкой будет точка $C^{ \prime}$, находящаяся от точки $E^{ \prime}$ на расстоянии $l_{E^{ \prime}G^{ \prime} } = l \sqrt{5}$, поэтому скорость точки $C^{ \prime}$ теперь будет равна $v_{G^{ \prime} } = v_{B} \frac{l \sqrt{5} }{l} = v \sqrt{5}$.
Для упоминаемого в условии задачи случая б) нетрудно понять, что максимальную скорость для обеих возможностей будет иметь теперь точка $B^{ \prime}$, причем если точка С движется вниз, то скорость точки $B^{ \prime}$ будет равна $v_{B^{ \prime} } = v \sqrt{13} /2$, при движении точки куба С вверх скорость точки $B^{ \prime}$ будет максимально возможной и равной $v_{B^{ \prime}} = \frac{v}{2} \sqrt{5}$.
