Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6527
2018-03-04 
Лампочка висит на расстоянии $l_{1}$ от потолка на высоте $l_{2}$ от пола. При ее разрыве осколки разлетаются во все стороны с одной и той же по величине скоростью v. Найдите радиус круга на полу, в который попадут осколки. Считать, что удары осколков об потолок абсолютно упругие, а об пол — неупругие. До стен осколки не долетают.
Решение:
Предположим сначала, что потолок отсутствует, и найдем в этом случае максимальный радиус пятна на полу, в котором лежат осколки.
Введем систему координат с началом, совпадающим с патроном лампочки (рис.). Условия падения на землю через время $t$ осколка, вылетевшего под углом $\alpha$ к горизонту, таковы:
$- l_{2} = vt \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2}$, (1)
$R = vt \cos \alpha$.
Очевидно, нам необходимо так подобрать угол $\alpha$, чтобы величина $R$ была максимальной. Преобразуем для этого уравнения (1) к виду
$\frac{gt}{2} - \frac{l_{2} }{t} = v \sin \alpha$, (2)
$\frac{R}{t} = v \cos \alpha$.
Отсюда для величины $R$ получим неравенство
$R^{2} = (v^{2} + gl_{2} )t^{2} - \frac{gt^{4} }{4} - l_{2}^{2} = \left ( \frac{v^{2} + gl_{2} }{g} \right )^{2} - l_{2}^{2} - \left ( \frac{gt^{2} }{2} - \frac{v^{2} + gl_{2} }{g} \right ) \leq \left ( \frac{v^{2} - gl_{2} }{g} \right )^{2} - l_{2}^{2}$.
Таким образом,
$R_{max} = \frac{v}{g} \sqrt{v^{2} + 2gl_{2} }$,
время полета $t^{*}$ осколка на такое расстояние угол вылета к горизонту найдем из уравнения
$\cos \alpha^{*} = \frac{R_{max} }{vl^{*} } = \sqrt{ \frac{v^{2} + 2gl_{2} }{2(v^{2} + gl_{2} ) } }$.
Высоту $h^{*}$ этой траектории над уровнем патрона лампочки найдем по формуле
$h^{*} = \frac{(v \sin \alpha^{*} )^{2} }{2g} = \frac{v^{2} }{2g} (1 - \cos^{2} \alpha^{*} ) = \frac{v^{4} }{ 4g ( v^{2} + gl_{2} ) }$.
Вспомним теперь про потолок, Очевидно, если $l_{1} \geq h^{*}$, то
$R_{max} = \frac{v}{g} \sqrt{v^{2} + 2gl_{2} }$.
В случае когда $l_{1} < h^{*}$, т. е. $l_{1} < \frac{v^{4} }{4g ( v^{2} + gl_{2} ) }$, максимальный радиус пятна на полу получится от осколков, у которых максимальная высота траектории (над уровнем патрона) равна $l_{1}$ (их траектория будет касательной к потолку). Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть хотя бы один осколок, отразившийся от потолка. Уровень патрона после отражения он пересечет под углом вылета. Следовательно, траектория этого осколка будет более крутой по сравнению с «касательной» траекторией, и они никогда не пересекутся. Значит, осколок, коснувшийся потолка, пролетит по горизонтали дальше всех остальных, ударившихся о потолок. Осколки, не долетевшие до потолка, при своем движении до земли не могут пересечь «касательной» траектории (докажите это самостоятельно).
Таким образом, если $l_{1} > \frac{v^{4} }{4g (v^{2} + gl_{2} ) } $, то
$R_{max} = \frac{v}{g} \sqrt{ v^{2} + 2gl_{2} }$,
если $l_{1} < \frac{v^{4}}{4g(v^{2} + gl_{2})}$, то $R_{max} = \frac{ \sqrt{v^{2} - 2gl_{1} } }{g} ( \sqrt{2gl_{1} } + \sqrt{ 2g (l_{1} + l_{2} ) } )$.
Лампочка висит на расстоянии $l_{1}$ от потолка на высоте $l_{2}$ от пола. При ее разрыве осколки разлетаются во все стороны с одной и той же по величине скоростью v. Найдите радиус круга на полу, в который попадут осколки. Считать, что удары осколков об потолок абсолютно упругие, а об пол — неупругие. До стен осколки не долетают.
Решение:
Предположим сначала, что потолок отсутствует, и найдем в этом случае максимальный радиус пятна на полу, в котором лежат осколки.
Введем систему координат с началом, совпадающим с патроном лампочки (рис.). Условия падения на землю через время $t$ осколка, вылетевшего под углом $\alpha$ к горизонту, таковы:
$- l_{2} = vt \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2}$, (1)
$R = vt \cos \alpha$.
Очевидно, нам необходимо так подобрать угол $\alpha$, чтобы величина $R$ была максимальной. Преобразуем для этого уравнения (1) к виду
$\frac{gt}{2} - \frac{l_{2} }{t} = v \sin \alpha$, (2)
$\frac{R}{t} = v \cos \alpha$.
Отсюда для величины $R$ получим неравенство
$R^{2} = (v^{2} + gl_{2} )t^{2} - \frac{gt^{4} }{4} - l_{2}^{2} = \left ( \frac{v^{2} + gl_{2} }{g} \right )^{2} - l_{2}^{2} - \left ( \frac{gt^{2} }{2} - \frac{v^{2} + gl_{2} }{g} \right ) \leq \left ( \frac{v^{2} - gl_{2} }{g} \right )^{2} - l_{2}^{2}$.
Таким образом,
$R_{max} = \frac{v}{g} \sqrt{v^{2} + 2gl_{2} }$,
время полета $t^{*}$ осколка на такое расстояние угол вылета к горизонту найдем из уравнения
$\cos \alpha^{*} = \frac{R_{max} }{vl^{*} } = \sqrt{ \frac{v^{2} + 2gl_{2} }{2(v^{2} + gl_{2} ) } }$.
Высоту $h^{*}$ этой траектории над уровнем патрона лампочки найдем по формуле
$h^{*} = \frac{(v \sin \alpha^{*} )^{2} }{2g} = \frac{v^{2} }{2g} (1 - \cos^{2} \alpha^{*} ) = \frac{v^{4} }{ 4g ( v^{2} + gl_{2} ) }$.
Вспомним теперь про потолок, Очевидно, если $l_{1} \geq h^{*}$, то
$R_{max} = \frac{v}{g} \sqrt{v^{2} + 2gl_{2} }$.
В случае когда $l_{1} < h^{*}$, т. е. $l_{1} < \frac{v^{4} }{4g ( v^{2} + gl_{2} ) }$, максимальный радиус пятна на полу получится от осколков, у которых максимальная высота траектории (над уровнем патрона) равна $l_{1}$ (их траектория будет касательной к потолку). Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть хотя бы один осколок, отразившийся от потолка. Уровень патрона после отражения он пересечет под углом вылета. Следовательно, траектория этого осколка будет более крутой по сравнению с «касательной» траекторией, и они никогда не пересекутся. Значит, осколок, коснувшийся потолка, пролетит по горизонтали дальше всех остальных, ударившихся о потолок. Осколки, не долетевшие до потолка, при своем движении до земли не могут пересечь «касательной» траектории (докажите это самостоятельно).
Таким образом, если $l_{1} > \frac{v^{4} }{4g (v^{2} + gl_{2} ) } $, то
$R_{max} = \frac{v}{g} \sqrt{ v^{2} + 2gl_{2} }$,
если $l_{1} < \frac{v^{4}}{4g(v^{2} + gl_{2})}$, то $R_{max} = \frac{ \sqrt{v^{2} - 2gl_{1} } }{g} ( \sqrt{2gl_{1} } + \sqrt{ 2g (l_{1} + l_{2} ) } )$.
