2014-06-01
Напряженность электрического поля, создаваемая зарядами, равномерно распределенными но поверхности полусферы, в центре О этой полусферы равна $E_{0}$. Двумя плоскостями, проходящими через один и тот же диаметр и составляющими друг с другом угол $\alpha$, от этой полусферы отделена часть поверхности (рис.).
Найдите напряженность $E$ электрического поля в той же точке О, создаваемую зарядами, находящимися на отделенной части поверхности (на «дольке»).
Решение:
Из соображений- симметрии легко понять, что вектор напряженности электрического поля «дольки», угол раствора которой равен $\alpha$, лежит в плоскостях продольной и поперечной симметрии «дольки». Пусть модуль этого вектора равен $E$. Воспользуемся принципом суперпозиции и дополним «дольку» до полусферы, заряженной с той же поверхностной плотностью. Тогда приложим к исходной «дольке» еще одну с углом раствора $\pi - \alpha$. Пусть модуль вектора напряженности поля, создаваемою добавочной «долькой» в центре сферы, равен $E^{\prime}$. Легко понять, что векторы $\bar{E}$ и $E^{\prime}$ взаимно перпендикулярны, а их векторная сумма представляет собой вектор напряженности поля полусферы в ее центре. По условию задачи эта сумма равна $E_{0}$. Поскольку угол между векторами $\bar{E}$ и $\bar{E}_{0}$ равен $\pi /2 - \alpha /2$, то
$E = E_{0} \sin (\alpha /2)$.