Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 650
2014-06-01 
Найдите напряженность $E$ электрического ноля в центре полусферы, создаваемую зарядами, распределенными равномерно с плотностью $\sigma$ по всей поверхности этой полусферы.
Решение:
Прежде чем перейти к решению задачи сформулируем теорему, полезную для решения и более сложных задач. Ниже будет дано доказательство этой теоремы применительное к конкретному случаю, рассмотренному в задаче.
Если заряд с постоянной плотностью $\sigma$ распределен по участку сферической поверхности радиуса $R$, то проекция создаваемой этим зарядом напряженности электрического поля в центре сферической поверхности на произвольное направление $a$ будет равна
$E_{a}= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\sigma}{R^{2}} S_{\perp \bar{a}}$
где $S_{\perp \bar{a}}$ - площадь проекции этого участка поверхности на плоскость, перпендикулярную направлению $\bar{a}$.
Рассмотрим некоторый участок сферической поверхности - «дольку» и сориентируем ее так. как указано на рис. - плоскость симметрии «дольки» совместим с осями Oz и Ох. Из симметрии расположения заряда очевидно, что общая напряженность в центре системы координат (точка О) будет направлена против оси Oz (если $\sigma > 0$), а составляющие напряженности по осям Ох и Оу будут равны нулю.
Рассмотрим небольшой участок поверхности «дольки» $\Delta S$. Вертикальную составляющую напряженности в точке О, создаваемую участком $\Delta S$, определим по формуле
$\Delta E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\sigma}{R^{2}} \Delta S \cos \phi$,
где $\phi$ - угол между нормалью к площадке и вертикалью. Но $\Delta S \cos \phi $ -это площадь проекции участка $\Delta S$ на горизонтальную плоскость. Отсюда полная напряженность в точке О находится по формуле
$E^{\prime}= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\sigma S}{R^{2}}$,
где $S$ - площадь заштрихованной фигуры на рис. – проекции «дольки» на горизонтальную плоскость хОу. Так как площадь любой узкой полоски этой области (черного участка на рис.) в $\sin (\alpha/2)$ раз меньше площади соответствующей полоски большого круга, то и вся площадь заштрихованной области в $\sin (\alpha/2)$ раз будет меньше площади большого круга. Отсюда
$E^{\prime}= \frac{\sigma S}{4 \pi \varepsilon_{0}R^{2}}= \frac{\sigma S}{4 \pi \varepsilon_{0}R^{2}} \pi R^{2} \sin \frac{\alpha}{2}= \frac{\sigma \sin (\alpha/2)}{4 \varepsilon_{0}}$.
В случае полусферы $\alpha = \pi$ и
$E= \sigma / (4 \varepsilon_{0})$.
Найдите напряженность $E$ электрического ноля в центре полусферы, создаваемую зарядами, распределенными равномерно с плотностью $\sigma$ по всей поверхности этой полусферы.
Решение:
Прежде чем перейти к решению задачи сформулируем теорему, полезную для решения и более сложных задач. Ниже будет дано доказательство этой теоремы применительное к конкретному случаю, рассмотренному в задаче.
Если заряд с постоянной плотностью $\sigma$ распределен по участку сферической поверхности радиуса $R$, то проекция создаваемой этим зарядом напряженности электрического поля в центре сферической поверхности на произвольное направление $a$ будет равна
$E_{a}= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\sigma}{R^{2}} S_{\perp \bar{a}}$
где $S_{\perp \bar{a}}$ - площадь проекции этого участка поверхности на плоскость, перпендикулярную направлению $\bar{a}$.
Рассмотрим некоторый участок сферической поверхности - «дольку» и сориентируем ее так. как указано на рис. - плоскость симметрии «дольки» совместим с осями Oz и Ох. Из симметрии расположения заряда очевидно, что общая напряженность в центре системы координат (точка О) будет направлена против оси Oz (если $\sigma > 0$), а составляющие напряженности по осям Ох и Оу будут равны нулю.
Рассмотрим небольшой участок поверхности «дольки» $\Delta S$. Вертикальную составляющую напряженности в точке О, создаваемую участком $\Delta S$, определим по формуле
$\Delta E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\sigma}{R^{2}} \Delta S \cos \phi$,
где $\phi$ - угол между нормалью к площадке и вертикалью. Но $\Delta S \cos \phi $ -это площадь проекции участка $\Delta S$ на горизонтальную плоскость. Отсюда полная напряженность в точке О находится по формуле
$E^{\prime}= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\sigma S}{R^{2}}$,
где $S$ - площадь заштрихованной фигуры на рис. – проекции «дольки» на горизонтальную плоскость хОу. Так как площадь любой узкой полоски этой области (черного участка на рис.) в $\sin (\alpha/2)$ раз меньше площади соответствующей полоски большого круга, то и вся площадь заштрихованной области в $\sin (\alpha/2)$ раз будет меньше площади большого круга. Отсюда
$E^{\prime}= \frac{\sigma S}{4 \pi \varepsilon_{0}R^{2}}= \frac{\sigma S}{4 \pi \varepsilon_{0}R^{2}} \pi R^{2} \sin \frac{\alpha}{2}= \frac{\sigma \sin (\alpha/2)}{4 \varepsilon_{0}}$.
В случае полусферы $\alpha = \pi$ и
$E= \sigma / (4 \varepsilon_{0})$.
