Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6465
2018-03-03 
Как приложить закон сохранения количества движения к объяснению плавания парусной лодки против ветра?
Решение:
Пусть $Q$ на чертеже (рис.) — сила ветра, $K - K^{ \prime}$ — направление киля лодки от кормы к носу и П-П - след плоскости установленного паруса. Тогда составляющая силы ветра $P$, перпендикулярная плоскости П—П, даст силу давления ветра на парус, причем
$P = Q \cos(90^{ \circ} - \beta ) = Q \sin \beta$. (1)
Составляющая $R$ силы $P$ будет уравновешена сопротивлением воды, действующим на глубокий киль лодки, сила же $F$, направленная под острым углом к направлению ветра, будет движущей силой, причем
$F = P \cos(90^{ \circ} - \alpha ) = P \sin \alpha$. (2)
Подстановка (1) во (2) даст $F = Q \sin \beta \sin \alpha$ или, если считать угол $\gamma = \alpha + \beta$ ($\gamma$ - угол между направлением движения и направлением ветра) заданным, то $F = Q \sin \alpha \sin( \gamma - \alpha)$.
Отыскивая по правилам анализа максимум функции $F( \alpha)$, найдем, что сила $F$ будет максимальной, если установить плоскость паруса по биссектрисе угла $\gamma$, т. е. должно быть $\alpha = \frac{ \gamma}{2}$. Тогда
$F = \sin^{ 2} \frac{ \gamma}{2}$, (3)
и уравнение динамики поступательного движения лодки приобретает вид:
$F - f(v) = m \frac{dv}{dt}$, (4)
где $m$ — масса лодки и $f(v)$ —сила сопротивления воды, возникающая вследствие ее вязкости и при таких небольших скоростях, как скорость лодки $v$, пропорциональная этой скорости:
$f=kv$. (5)
Тогда по подстановке (3) и (5) в (4) получим:
$Q \sin^{2} \frac{ \gamma }{2} - kv = m \frac{dv}{dt}$. (6)
Как видно из (6), с возрастанием скорости лодки под действием силы ветра левая часть равенства стремится к нулю. А тогда по достижении этого предела вступает в силу закон сохранения количества движения
$mv_{y} = const$, (7)
где $v_{y}$ — установившаяся скорость лодки.
Искомую величину $v_{y}$ можно определить, приравняв левую часть равенства (6) нулю, тогда
$v_{y} = \frac{Q}{k} \sin^{2} \frac{ \gamma}{2}$. (8)
Если сила ветра $Q$ определена анемометром, а значение коэффициента $k$ взято из таблиц и угол требуемого направления лодки относительно ветра задан, то установившаяся скорость лодки, идущей под острым углом к ветру, с помощью закона сохранения количества движения оказывается определенной.
Как приложить закон сохранения количества движения к объяснению плавания парусной лодки против ветра?
Решение:
Пусть $Q$ на чертеже (рис.) — сила ветра, $K - K^{ \prime}$ — направление киля лодки от кормы к носу и П-П - след плоскости установленного паруса. Тогда составляющая силы ветра $P$, перпендикулярная плоскости П—П, даст силу давления ветра на парус, причем
$P = Q \cos(90^{ \circ} - \beta ) = Q \sin \beta$. (1)
Составляющая $R$ силы $P$ будет уравновешена сопротивлением воды, действующим на глубокий киль лодки, сила же $F$, направленная под острым углом к направлению ветра, будет движущей силой, причем
$F = P \cos(90^{ \circ} - \alpha ) = P \sin \alpha$. (2)
Подстановка (1) во (2) даст $F = Q \sin \beta \sin \alpha$ или, если считать угол $\gamma = \alpha + \beta$ ($\gamma$ - угол между направлением движения и направлением ветра) заданным, то $F = Q \sin \alpha \sin( \gamma - \alpha)$.
Отыскивая по правилам анализа максимум функции $F( \alpha)$, найдем, что сила $F$ будет максимальной, если установить плоскость паруса по биссектрисе угла $\gamma$, т. е. должно быть $\alpha = \frac{ \gamma}{2}$. Тогда
$F = \sin^{ 2} \frac{ \gamma}{2}$, (3)
и уравнение динамики поступательного движения лодки приобретает вид:
$F - f(v) = m \frac{dv}{dt}$, (4)
где $m$ — масса лодки и $f(v)$ —сила сопротивления воды, возникающая вследствие ее вязкости и при таких небольших скоростях, как скорость лодки $v$, пропорциональная этой скорости:
$f=kv$. (5)
Тогда по подстановке (3) и (5) в (4) получим:
$Q \sin^{2} \frac{ \gamma }{2} - kv = m \frac{dv}{dt}$. (6)
Как видно из (6), с возрастанием скорости лодки под действием силы ветра левая часть равенства стремится к нулю. А тогда по достижении этого предела вступает в силу закон сохранения количества движения
$mv_{y} = const$, (7)
где $v_{y}$ — установившаяся скорость лодки.
Искомую величину $v_{y}$ можно определить, приравняв левую часть равенства (6) нулю, тогда
$v_{y} = \frac{Q}{k} \sin^{2} \frac{ \gamma}{2}$. (8)
Если сила ветра $Q$ определена анемометром, а значение коэффициента $k$ взято из таблиц и угол требуемого направления лодки относительно ветра задан, то установившаяся скорость лодки, идущей под острым углом к ветру, с помощью закона сохранения количества движения оказывается определенной.
