Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6454
2018-02-25 
В теплоизолированном сосуде находится идеальный одноатомный газ с параметрами $p_{0}, V_{0}, T_{0}$. Сверху сосуд закрыт тяжелым поршнем массой $M$ и сечением $S$. В некоторый момент времени поршень отпускают, и он начинает падать. Найдите скорость поршня в момент прохождения им равновесного положения, а также объем и температуру газа после остановки поршня.
Решение:
В произвольный момент времени из 2-го закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеем: $Ma = Mg - pS$.
В равновесном положении $a = 0$, тогда давление газа при этом равно:
$p_{1} = \frac{Mg}{S}$. (1)
Учитывая 1-е начало термодинамики, получаем:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta A = \frac{3R}{2} \nu \Delta T + p \Delta V \Rightarrow ( \Delta Q = 0) \Rightarrow p \Delta V = - \frac{3R}{2} \nu \Delta T$. (2)
С другой стороны, из уравнения состояния газа, используя правило вычисления производной произведения, имеем:
$pV = \nu RT \Rightarrow \Delta (pV) = p \Delta V + V \Delta p = \nu R \Delta T$. (3)
Из (2) и (3), исключая $\Delta T$, получаем:
$\frac{ \Delta p}{ \Delta V} = - \frac{5}{3} \frac{p}{V} \Rightarrow pV^{5/3} = const \Rightarrow (pV = \nu RT ) \Rightarrow TV^{2/3} = const, Tp^{-2/5} = const$.
Отсюда $V_{1} = V_{0} ( p_{1} / p_{0} )^{3/5} = V_{0} (p_{0}S/Mg )^{3/5}; T_{1} = T_{0} (Mg / p_{0}S )^{2/5}$.
Скорость поршня в любой момент времени ищется из закона сохранения энергии:
$\Delta \Pi = \Delta U + \Delta E_{кин} \Leftrightarrow Mg (z_{0} - z ) = \frac{3R}{2} \nu (T - T_{0}) + M \frac{ \nu^{2} }{2} \Rightarrow ( \nu R = \frac{pV}{T} ) \Rightarrow Mg \frac{V_{0} - V }{S} = \frac{3}{2} \frac{ p_{0}V_{0} }{T_{0} } (T - T_{0}) + M \frac{ \nu^{2} }{2}$,
где $\Pi$ - потенциальная энергия поршня, $U$ - внутренняя энергия газа. Отсюда в состоянии равновесия (с параметрами $V_{1},T_{1},p_{1}$) получаем:
$\nu = \sqrt{ \frac{2gV_{0} }{S} \left ( 1 - \left ( \frac{p_{0}S }{Mg} \right )^{3/5} \right ) + \frac{2p_{0}V_{0} }{M} \left ( 1 - \left ( \frac{Mg}{p_{0}S } \right )^{2/5} \right ) }$.
Проходя это положение, поршень продолжает движение до остановки и начинает движение в обратную сторону - возникают колебания. После их затухания поршень придет в состояние с давлением, определяемым соотношением (1): $p_{2} = p_{1}$ и с температурой и объемом, следующими из (4) при $\nu = 0$ и уравнения состояния:
$\begin{cases} Mg \frac{V_{0} - V_{2} }{S} = \frac{3}{2} \frac{p_{0}V_{0} }{T_{0} } (T_{2} - T_{0} ), \\ \frac{p_{2}V_{2} }{T_{2} } = \frac{p_{0}V_{0} }{T_{0} } \end{cases} V_{2} = V_{0} \left ( \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \frac{p_{0}S }{Mg} \right ), T_{2} = T_{0} \left (1 + \frac{2}{3} \frac{Mg}{p_{0}S } \right )$.
В теплоизолированном сосуде находится идеальный одноатомный газ с параметрами $p_{0}, V_{0}, T_{0}$. Сверху сосуд закрыт тяжелым поршнем массой $M$ и сечением $S$. В некоторый момент времени поршень отпускают, и он начинает падать. Найдите скорость поршня в момент прохождения им равновесного положения, а также объем и температуру газа после остановки поршня.
Решение:
В произвольный момент времени из 2-го закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеем: $Ma = Mg - pS$.
В равновесном положении $a = 0$, тогда давление газа при этом равно:
$p_{1} = \frac{Mg}{S}$. (1)
Учитывая 1-е начало термодинамики, получаем:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta A = \frac{3R}{2} \nu \Delta T + p \Delta V \Rightarrow ( \Delta Q = 0) \Rightarrow p \Delta V = - \frac{3R}{2} \nu \Delta T$. (2)
С другой стороны, из уравнения состояния газа, используя правило вычисления производной произведения, имеем:
$pV = \nu RT \Rightarrow \Delta (pV) = p \Delta V + V \Delta p = \nu R \Delta T$. (3)
Из (2) и (3), исключая $\Delta T$, получаем:
$\frac{ \Delta p}{ \Delta V} = - \frac{5}{3} \frac{p}{V} \Rightarrow pV^{5/3} = const \Rightarrow (pV = \nu RT ) \Rightarrow TV^{2/3} = const, Tp^{-2/5} = const$.
Отсюда $V_{1} = V_{0} ( p_{1} / p_{0} )^{3/5} = V_{0} (p_{0}S/Mg )^{3/5}; T_{1} = T_{0} (Mg / p_{0}S )^{2/5}$.
Скорость поршня в любой момент времени ищется из закона сохранения энергии:
$\Delta \Pi = \Delta U + \Delta E_{кин} \Leftrightarrow Mg (z_{0} - z ) = \frac{3R}{2} \nu (T - T_{0}) + M \frac{ \nu^{2} }{2} \Rightarrow ( \nu R = \frac{pV}{T} ) \Rightarrow Mg \frac{V_{0} - V }{S} = \frac{3}{2} \frac{ p_{0}V_{0} }{T_{0} } (T - T_{0}) + M \frac{ \nu^{2} }{2}$,
где $\Pi$ - потенциальная энергия поршня, $U$ - внутренняя энергия газа. Отсюда в состоянии равновесия (с параметрами $V_{1},T_{1},p_{1}$) получаем:
$\nu = \sqrt{ \frac{2gV_{0} }{S} \left ( 1 - \left ( \frac{p_{0}S }{Mg} \right )^{3/5} \right ) + \frac{2p_{0}V_{0} }{M} \left ( 1 - \left ( \frac{Mg}{p_{0}S } \right )^{2/5} \right ) }$.
Проходя это положение, поршень продолжает движение до остановки и начинает движение в обратную сторону - возникают колебания. После их затухания поршень придет в состояние с давлением, определяемым соотношением (1): $p_{2} = p_{1}$ и с температурой и объемом, следующими из (4) при $\nu = 0$ и уравнения состояния:
$\begin{cases} Mg \frac{V_{0} - V_{2} }{S} = \frac{3}{2} \frac{p_{0}V_{0} }{T_{0} } (T_{2} - T_{0} ), \\ \frac{p_{2}V_{2} }{T_{2} } = \frac{p_{0}V_{0} }{T_{0} } \end{cases} V_{2} = V_{0} \left ( \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \frac{p_{0}S }{Mg} \right ), T_{2} = T_{0} \left (1 + \frac{2}{3} \frac{Mg}{p_{0}S } \right )$.
