Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6449
2018-02-25 
Маленький металлический шарик массы m подвешен на непроводящей нити длиной $l$ между пластинами плоского воздушного конденсатора, расположенными на расстоянии $d \ll l$ друг от друга. Разность потенциалов между пластинами поддерживается равной $U_{0}$. Шарик отклоняют от положения равновесия до соприкосновения с одной из пластин, в результате чего его заряд становится равным $q_{0}$, и отпускают. Найдите средний ток через конденсатор при условии, что удары шарика о пластины абсолютно неупругие. Потенциалы шарика и пластины за время удара успевают сравняться. Время удара много меньше времени движения шарика между пластинами. Расстояние $d$ много меньше размера пластин.
Решение:
Уравнение движения шарика имеет вид:
$m \vec{a} = \vec{F}_{эл} + \vec{T} + m \vec{g}$. (1)
В проекции на ось x из (1) имеем:
$ma_{X} = q_{0} \frac{U_{0} }{d} + T_{X} = q_{0} \frac{U_{0} }{d} + T \sin \alpha \approx q_{0} \frac{U_{0} }{d} + T \alpha$. (2)
В проекции на ось y из (1) имеем:
$T_{Y} = mg \Leftrightarrow T \cos \alpha \approx T = mg$, (3)
т.к. наибольший угол отклонения нити, следующий из равенства
$tg \alpha_{0} = \frac{d}{2l} \Rightarrow (d \ll l) \Rightarrow tg \alpha_{0} \approx \alpha_{0} \Rightarrow \alpha_{0} \approx \frac{d}{2l} \ll 1$, мал.
Из (2) и (3) получаем:
$ma_{X} = q_{0} \frac{U_{0}}{d} + T \alpha \Rightarrow ma_{X} = q_{0} \frac{U_{0} }{d} = mg \alpha \Rightarrow a_{X} = q_{0} \frac{U_{0} }{md} + g \alpha$.
Поэтому $x = \frac{a_{X}t^{2} }{2} = \left ( q_{0} \frac{U_{0} }{md} + g \alpha \right ) \frac{t^{2} }{2}$.
Т.к. наибольший угол отклонения нити $\alpha_{0} \ll 1$, то в конце движения шарика от одной пластины к другой $x \approx d$. Тогда
$t = \sqrt{ \frac{2d}{a_{X} } } = \sqrt{ \frac{2d}{ q_{0} \frac{U_{0} }{md} + g \alpha_{0} } } \approx \sqrt{ \frac{2d}{ q_{0} \frac{U_{0} }{md} + g \frac{d}{2l} } }$.
В силу того, что удары абсолютно неупругие, движение снова начинается при нулевой начальной скорости. Тогда средний ток равен:
$- q_{1} + q_{2} = -2q = - \frac{12}{11} C \epsilon$.
Маленький металлический шарик массы m подвешен на непроводящей нити длиной $l$ между пластинами плоского воздушного конденсатора, расположенными на расстоянии $d \ll l$ друг от друга. Разность потенциалов между пластинами поддерживается равной $U_{0}$. Шарик отклоняют от положения равновесия до соприкосновения с одной из пластин, в результате чего его заряд становится равным $q_{0}$, и отпускают. Найдите средний ток через конденсатор при условии, что удары шарика о пластины абсолютно неупругие. Потенциалы шарика и пластины за время удара успевают сравняться. Время удара много меньше времени движения шарика между пластинами. Расстояние $d$ много меньше размера пластин.
Решение:
Уравнение движения шарика имеет вид:
$m \vec{a} = \vec{F}_{эл} + \vec{T} + m \vec{g}$. (1)
В проекции на ось x из (1) имеем:
$ma_{X} = q_{0} \frac{U_{0} }{d} + T_{X} = q_{0} \frac{U_{0} }{d} + T \sin \alpha \approx q_{0} \frac{U_{0} }{d} + T \alpha$. (2)
В проекции на ось y из (1) имеем:
$T_{Y} = mg \Leftrightarrow T \cos \alpha \approx T = mg$, (3)
т.к. наибольший угол отклонения нити, следующий из равенства
$tg \alpha_{0} = \frac{d}{2l} \Rightarrow (d \ll l) \Rightarrow tg \alpha_{0} \approx \alpha_{0} \Rightarrow \alpha_{0} \approx \frac{d}{2l} \ll 1$, мал.
Из (2) и (3) получаем:
$ma_{X} = q_{0} \frac{U_{0}}{d} + T \alpha \Rightarrow ma_{X} = q_{0} \frac{U_{0} }{d} = mg \alpha \Rightarrow a_{X} = q_{0} \frac{U_{0} }{md} + g \alpha$.
Поэтому $x = \frac{a_{X}t^{2} }{2} = \left ( q_{0} \frac{U_{0} }{md} + g \alpha \right ) \frac{t^{2} }{2}$.
Т.к. наибольший угол отклонения нити $\alpha_{0} \ll 1$, то в конце движения шарика от одной пластины к другой $x \approx d$. Тогда
$t = \sqrt{ \frac{2d}{a_{X} } } = \sqrt{ \frac{2d}{ q_{0} \frac{U_{0} }{md} + g \alpha_{0} } } \approx \sqrt{ \frac{2d}{ q_{0} \frac{U_{0} }{md} + g \frac{d}{2l} } }$.
В силу того, что удары абсолютно неупругие, движение снова начинается при нулевой начальной скорости. Тогда средний ток равен:
$- q_{1} + q_{2} = -2q = - \frac{12}{11} C \epsilon$.
