Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6443
2018-02-25 
Палочка длины $l$ связана нитью той же длины с неподвижной точкой А. Нижний конец палочки может скользить без трения по горизонтальному столу. Расстояние от точки А до стола равно $H (l < H < 2l)$. Палочка начинает двигаться без начальной скорости из положения, показанного на рис. Найдите максимальную скорость центра масс палочки при ее последующем движении.
Решение:
В начальный момент времени $t = 0$ палочка образует с горизонтом угол $\alpha: \sin \alpha = \frac{H}{2l}$, а ее полная энергия равна потенциальной и составляет (см. рис.):
$E_{полн.} = U_{0} = mgz_{ц.м.} = mg \frac{H}{4}$. (1)
В произвольный момент времени $t \neq 0$ полная энергия равна сумме потенциальной энергии $U(t)$, кинетической энергии поступательного движения $T(t)$ и кинетической энергии вращательного движения $W(t)$:
$E_{полн.} = U + T + W = U + \frac{m \theta_{ц.м.}^{2}} {2} + W$. (2)
Из (1) и (2) следует выражение для скорости центра масс:
$U_{0} = U + T + W \Rightarrow T = \frac{m \theta_{ц.м.}^{2} }{2} = U_{0} - U - W \Rightarrow \theta_{ц.м.} = \sqrt{ \frac{2(U_{0} - U - W ) }{m} }$.
Она максимальна, когда минимальна сумма $U + W$. Потенциальная энергия минимальна в момент времени \$tau$, когда нить вертикальна:
$U_{min} = U ( \tau) = mg \frac{H - l}{2}$.
В этот момент времени скорость нижней точки палочки $\theta_{B}$ горизонтальна, т.к. она двигается по столу, верхней $\theta_{C}$ также горизонтальна, т.к. нить вертикальна и нерастяжима. Палочка также нерастяжима, следовательно, $\theta_{B} = \theta_{C}$, а все точки палочки в этот момент времени ($t = \tau$) имеют ту же скорость. Таким образом, вращательное движение отсутствует и $W( \tau ) = 0$, скорость центра масс минимальна, направлена горизонтально и равна:
$\theta_{min} = \theta_{ц.м.}( \tau) = \sqrt{ \frac{2(U_{0} - U_{min} ) }{m} } = \sqrt{ \frac{ 2 \left ( \frac{mgH}{4} - mg \frac{H - l}{2} \right ) }{m} } = \sqrt{ \frac{g(2l - H)}{2} }$.
Палочка длины $l$ связана нитью той же длины с неподвижной точкой А. Нижний конец палочки может скользить без трения по горизонтальному столу. Расстояние от точки А до стола равно $H (l < H < 2l)$. Палочка начинает двигаться без начальной скорости из положения, показанного на рис. Найдите максимальную скорость центра масс палочки при ее последующем движении.
Решение:
В начальный момент времени $t = 0$ палочка образует с горизонтом угол $\alpha: \sin \alpha = \frac{H}{2l}$, а ее полная энергия равна потенциальной и составляет (см. рис.):
$E_{полн.} = U_{0} = mgz_{ц.м.} = mg \frac{H}{4}$. (1)
В произвольный момент времени $t \neq 0$ полная энергия равна сумме потенциальной энергии $U(t)$, кинетической энергии поступательного движения $T(t)$ и кинетической энергии вращательного движения $W(t)$:
$E_{полн.} = U + T + W = U + \frac{m \theta_{ц.м.}^{2}} {2} + W$. (2)
Из (1) и (2) следует выражение для скорости центра масс:
$U_{0} = U + T + W \Rightarrow T = \frac{m \theta_{ц.м.}^{2} }{2} = U_{0} - U - W \Rightarrow \theta_{ц.м.} = \sqrt{ \frac{2(U_{0} - U - W ) }{m} }$.
Она максимальна, когда минимальна сумма $U + W$. Потенциальная энергия минимальна в момент времени \$tau$, когда нить вертикальна:
$U_{min} = U ( \tau) = mg \frac{H - l}{2}$.
В этот момент времени скорость нижней точки палочки $\theta_{B}$ горизонтальна, т.к. она двигается по столу, верхней $\theta_{C}$ также горизонтальна, т.к. нить вертикальна и нерастяжима. Палочка также нерастяжима, следовательно, $\theta_{B} = \theta_{C}$, а все точки палочки в этот момент времени ($t = \tau$) имеют ту же скорость. Таким образом, вращательное движение отсутствует и $W( \tau ) = 0$, скорость центра масс минимальна, направлена горизонтально и равна:
$\theta_{min} = \theta_{ц.м.}( \tau) = \sqrt{ \frac{2(U_{0} - U_{min} ) }{m} } = \sqrt{ \frac{ 2 \left ( \frac{mgH}{4} - mg \frac{H - l}{2} \right ) }{m} } = \sqrt{ \frac{g(2l - H)}{2} }$.
