Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6442
2018-02-25 
Горизонтально расположенный плоский конденсатор подключен к источнику напряжения $U$. Около верх- и ней пластины удерживают с помощью магнита маленький железный шарик, затем магнит быстро убирают. Если $U > U_{0}$, то шарик начинает прыгать внутри конденсатора, попеременно касаясь обеих пластин. Найдите период колебаний шарика при напряжении $U = \sqrt{3}U$. Известно, что при $U = 0$ высота каждого последующего подпрыгивания шарика уменьшается в $n = 2$ раза. Пластины изготовлены из немагнитного проводящего материала, расстояние между ними $h$. Удар шарика о верхнюю пластину считать абсолютно упругим.
Решение:
Колебания шарика между пластинками объясняются тем, что при ударе о пластины он периодически меняет знак заряда, причем величина заряда пропорциональна напряжению: $q = \alpha U$. Сила, действующая на шарик со стороны электрического поля, равна $F = qE = \alpha U^{2}/h$. Ускорение шарика при движении вниз $g \downarrow = g + a$, а при движении вверх $g \uparrow = g - a$, где $a = F / m$.
На пороге возникновения колебаний при $U = U_{0}$ имеем: $\frac{mg_{ \downarrow} (U_{0} )h }{2} = mg_{ \uparrow} (U_{0} )h$, где учтено двукратное уменьшение энергии при ударе шарика о верхнюю пластину.
$g + a(U_{0}) = 2(g- (U_{0})) \Rightarrow 3(U_{0}) = g \Rightarrow 3 \frac{F(U_{0} )}{m} = g \Rightarrow 3 \frac{ \alpha U_{0}^{2} }{mh} = g \Rightarrow \alpha = \frac{mgh}{3U_{0}^{2} }$.
Тогда $a = a(U) = \frac{ \alpha U^{2} }{mh} = \frac{mgh}{3U_{0}^{2} } \frac{ U^{2}}{mh} = \frac{gU^{2} }{ 3U_{0}^{2} }$.
При $U = \sqrt{3}U_{0}$ имеем: $a = g, g_{ \downarrow} = g + а = 2g, g_{ \uparrow} = g - a$. Время падения шарика вниз (равноускоренное движение) $t_{1} = \sqrt{2h/g_{ \downarrow } } = \sqrt{h/g}$. Скорость перед ударом о нижнюю пластину из закона сохранения энергии $\frac{m \theta_{ \downarrow }^{2} }{2} = mg_{ \downarrow} h$ равна $\theta_{ \downarrow} = \sqrt{2hg_{ \downarrow}} = 2 \sqrt{hg}$, а после отскока скорость по условию вдвое меньше $\theta_{ \uparrow} = \sqrt{2hg}$. Время полета с этой постоянной скоростью ($g_{ \uparrow} = 0$) до верхней пластины $t_{2} = h/ \sqrt{2hg}$, а период колебаний $T = t_{1} + t_{2} = \sqrt{ \frac{h}{g} } \left ( 1 + \frac{1}{ \sqrt{2} } \right )$.
Горизонтально расположенный плоский конденсатор подключен к источнику напряжения $U$. Около верх- и ней пластины удерживают с помощью магнита маленький железный шарик, затем магнит быстро убирают. Если $U > U_{0}$, то шарик начинает прыгать внутри конденсатора, попеременно касаясь обеих пластин. Найдите период колебаний шарика при напряжении $U = \sqrt{3}U$. Известно, что при $U = 0$ высота каждого последующего подпрыгивания шарика уменьшается в $n = 2$ раза. Пластины изготовлены из немагнитного проводящего материала, расстояние между ними $h$. Удар шарика о верхнюю пластину считать абсолютно упругим.
Решение:
Колебания шарика между пластинками объясняются тем, что при ударе о пластины он периодически меняет знак заряда, причем величина заряда пропорциональна напряжению: $q = \alpha U$. Сила, действующая на шарик со стороны электрического поля, равна $F = qE = \alpha U^{2}/h$. Ускорение шарика при движении вниз $g \downarrow = g + a$, а при движении вверх $g \uparrow = g - a$, где $a = F / m$.
На пороге возникновения колебаний при $U = U_{0}$ имеем: $\frac{mg_{ \downarrow} (U_{0} )h }{2} = mg_{ \uparrow} (U_{0} )h$, где учтено двукратное уменьшение энергии при ударе шарика о верхнюю пластину.
$g + a(U_{0}) = 2(g- (U_{0})) \Rightarrow 3(U_{0}) = g \Rightarrow 3 \frac{F(U_{0} )}{m} = g \Rightarrow 3 \frac{ \alpha U_{0}^{2} }{mh} = g \Rightarrow \alpha = \frac{mgh}{3U_{0}^{2} }$.
Тогда $a = a(U) = \frac{ \alpha U^{2} }{mh} = \frac{mgh}{3U_{0}^{2} } \frac{ U^{2}}{mh} = \frac{gU^{2} }{ 3U_{0}^{2} }$.
При $U = \sqrt{3}U_{0}$ имеем: $a = g, g_{ \downarrow} = g + а = 2g, g_{ \uparrow} = g - a$. Время падения шарика вниз (равноускоренное движение) $t_{1} = \sqrt{2h/g_{ \downarrow } } = \sqrt{h/g}$. Скорость перед ударом о нижнюю пластину из закона сохранения энергии $\frac{m \theta_{ \downarrow }^{2} }{2} = mg_{ \downarrow} h$ равна $\theta_{ \downarrow} = \sqrt{2hg_{ \downarrow}} = 2 \sqrt{hg}$, а после отскока скорость по условию вдвое меньше $\theta_{ \uparrow} = \sqrt{2hg}$. Время полета с этой постоянной скоростью ($g_{ \uparrow} = 0$) до верхней пластины $t_{2} = h/ \sqrt{2hg}$, а период колебаний $T = t_{1} + t_{2} = \sqrt{ \frac{h}{g} } \left ( 1 + \frac{1}{ \sqrt{2} } \right )$.
