Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6441
2018-02-25 
В старинной книге по оптике найден чертеж оптической схемы. Остались видны только три точки: фокус $F$, точечный источник света $S$ и его изображение $S^{ \prime}$, не лежащие на одной прямой. Измерения показали, что расстояние SF равно 1 см, расстояние $SS^{ \prime}$ равно 27 см, расстояние $FS^{ \prime}$ равно $\sqrt{730}$ см. Из пояснений к чертежу следовало, что линза была собирающая и находилась в воздухе. Чему равно фокусное расстояние этой линзы?
Решение:
Из теоремы Пифагора следует, что треугольник $S^{ \prime}SF$ -прямоугольный. Оптический центр линзы лежит на отрезке прямой $SS^{ \prime}$ или его продолжении.
Если изображение $S^{ \prime}$ - действительное, то $S^{ \prime}$ и $S$ лежат по разные стороны линзы и независимо от того, какой фокус (задний или передний) сохранился на схеме, $\angle S^{ \prime}SF$ будет всегда острым. Однако по условию задачи он прямой. Значит изображение $S^{ \prime}$ - мнимое и лежит с источником $S$ по одну сторону от линзы. Из свойств собирающей линзы следует, что если изображение источника мнимое, то источник $S$ должен находиться к линзе ближе, чем изображение $S^{ \prime}$ или фокус $F$. Таким образом, оптический центр О должен находиться правее источника $S$.
Построим качественно ход лучей, считая точки $S^{ \prime}, S$ и $F$ заданными. Главная оптическая ось проходит через точки F и О. Линза перпендикулярна главной оптической оси.
Луч, пущенный из F через S, дойдя до линзы, переломится в точке L и пойдет параллельно главной оптической оси, а изображение $S^{ \prime}$ должно находиться на продолжении преломленного луча. Углы $S^{ \prime}SF$ и $FSO$, $OSL$ и $LSS^{ \prime}$ - прямые, а треугольник FSO подобен треугольникам $OSL$ и $LSS^{ \prime}$. Поэтому можно записать:
$\frac{SO}{SF} = \frac{LS}{SO} = \frac{S^{ \prime}S}{LS} = m \Rightarrow | SS^{ \prime} | = m |LS| = m^{2} |SO| = m^{3} |SF|, m \sqrt[3]{ \frac{ |SS^{ \prime} | }{ |SF| } } = \sqrt[3]{27} = 3$.
Тогда фокусное расстояние линзы равно
$|FO| = \sqrt{ |FS|^{2} + |SO|^{2} } = \sqrt{10} см$.
В старинной книге по оптике найден чертеж оптической схемы. Остались видны только три точки: фокус $F$, точечный источник света $S$ и его изображение $S^{ \prime}$, не лежащие на одной прямой. Измерения показали, что расстояние SF равно 1 см, расстояние $SS^{ \prime}$ равно 27 см, расстояние $FS^{ \prime}$ равно $\sqrt{730}$ см. Из пояснений к чертежу следовало, что линза была собирающая и находилась в воздухе. Чему равно фокусное расстояние этой линзы?
Решение:
Из теоремы Пифагора следует, что треугольник $S^{ \prime}SF$ -прямоугольный. Оптический центр линзы лежит на отрезке прямой $SS^{ \prime}$ или его продолжении.
Если изображение $S^{ \prime}$ - действительное, то $S^{ \prime}$ и $S$ лежат по разные стороны линзы и независимо от того, какой фокус (задний или передний) сохранился на схеме, $\angle S^{ \prime}SF$ будет всегда острым. Однако по условию задачи он прямой. Значит изображение $S^{ \prime}$ - мнимое и лежит с источником $S$ по одну сторону от линзы. Из свойств собирающей линзы следует, что если изображение источника мнимое, то источник $S$ должен находиться к линзе ближе, чем изображение $S^{ \prime}$ или фокус $F$. Таким образом, оптический центр О должен находиться правее источника $S$.
Построим качественно ход лучей, считая точки $S^{ \prime}, S$ и $F$ заданными. Главная оптическая ось проходит через точки F и О. Линза перпендикулярна главной оптической оси.
Луч, пущенный из F через S, дойдя до линзы, переломится в точке L и пойдет параллельно главной оптической оси, а изображение $S^{ \prime}$ должно находиться на продолжении преломленного луча. Углы $S^{ \prime}SF$ и $FSO$, $OSL$ и $LSS^{ \prime}$ - прямые, а треугольник FSO подобен треугольникам $OSL$ и $LSS^{ \prime}$. Поэтому можно записать:
$\frac{SO}{SF} = \frac{LS}{SO} = \frac{S^{ \prime}S}{LS} = m \Rightarrow | SS^{ \prime} | = m |LS| = m^{2} |SO| = m^{3} |SF|, m \sqrt[3]{ \frac{ |SS^{ \prime} | }{ |SF| } } = \sqrt[3]{27} = 3$.
Тогда фокусное расстояние линзы равно
$|FO| = \sqrt{ |FS|^{2} + |SO|^{2} } = \sqrt{10} см$.
