ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-02-25   
Горизонтально расположенные неподвижные пластины 1 и 2 плоского конденсатора, расстояние между которыми равно $d$, подключены к источнику регулируемого напряжения. На пластине 2 лежит тонкая проводящая незаряженная пластина 3 массой $M$, имеющая хороший электрический контакт с пластиной 2. Все пластины имеют одинаковые размеры, площадь каждой равна $S$, причем $d \ll \sqrt{S}$. Конденсатор находится в вакуумированной камере. Ключ К замыкают. При каком минимальном напряжении источника пластина 3 сможет оторваться от пластины 2 и достигнуть пластины 1? Чему будет равна скорость пластины 3 в момент касания пластины 1?



Решение:



Условие отрыва пластины 3 от пластины 2 - равенство силы тяжести и силы электростатического взаимодействия пластин при некотором напряжении $U_{0}$:

$F_{э} \geq Mg$. (1)

При этом заряд на пластине 3 будет положительным и равным

$q_{0} = CU_{0} = \frac{ \epsilon_{0}S }{d} U_{0}$.

Отрыв происходит при $x = 0$. Сила электростатического взаимодействия пластин при этом равна $F_{э} (0) = \frac{q_{0}U_{0} }{d} = \frac{q_{0}^{2} }{2 \epsilon_{0}S }$

C учетом этого выражения условие отрыва (1) перепишется в виде: $\frac{q_{0}^{2} }{2 \epsilon_{0}S } \geq Mg$. Отсюда $U_{0} \geq \sqrt{ \frac{2Mgd^{2} }{ \epsilon_{0}S } }$.

Скорость пластины 3 в момент касания пластины 1 можно определить из закона изменения и сохранения энергии:

$A = \frac{M \theta^{2} }{2}$, (2)

где $A$ - работа сил по перемещению пластины 3.
Суммарная сила, действующая на пластину 3 в произвольной точке $x$, равна $F_{x} = F_{э} (x) - Mg$.


Электростатическая сила, действующая на пластину 3 в точке $x$, равна $F_{э}(x) = q_{0} \left ( \frac{q_{0} }{2 \epsilon_{0}S } + \frac{q_(x) }{ \epsilon_{0}S } \right )$, где $q(x)$ - заряд на пластине 2 в момент времени, когда пластина 3 находится в точке $x$. В этот же момент заряд на пластине 1 очевидно равен $(q_{0} + q)$ (после отрыва заряд пластины 3 не меняется).

Напряжение между пластинами 1 и 2 равно напряжению источника $U_{0}$, т.е. $U_{0} = \frac{qd}{2 \epsilon_{0}S } + \frac{(q_{0} + q )d}{2 \epsilon_{0}S } + \frac{q_{0} (d - x)}{2 \epsilon_{0}S } - \frac{q_{0}x}{2 \epsilon_{0}S } = \frac{q_{0}d}{2 \epsilon_{0}S } + \frac{qd}{ \epsilon_{0}S } - \frac{q_{0} x}{ \epsilon_{0}S }$.

Отсюда заряд на пластине 2 в момент времени, когда пластина 3 находится в точке $x$, равен $q(x) = \frac{U_{0} \epsilon_{0}S }{d} - q_{0} \left ( 1 - \frac{x}{d} \right ) = \frac{ \epsilon_{0}SU_{0}x }{d^{2} }$, а суммарная сила, действующая на пластину 3 в произвольной точке х, равна

$F(x) = q_{0} \left ( \frac{q_{0}}{2 \epsilon_{0}S } + \frac{q(x) }{ \epsilon_{0}S } \right ) - Mg = q_{0} \left ( \frac{q_{0}}{2 \epsilon_{0}S } + \frac{1 }{ \epsilon_{0}S } \frac{ \epsilon_{0} SU_{0}x }{d^{2} } \right ) - Mg = q_{0} \left ( \frac{q_{0}}{2 \epsilon_{0}S } + \frac{ U_{0}x }{d^{2} } \right ) - Mg = \frac{ \epsilon SU_{0}^{2} }{2d^{2} } \left ( 1 + \frac{2x}{d} \right ) - Mg = \frac{ \epsilon_{0}SU_{0}^{2}x }{d^{3} } = Mg \frac{2x}{d}$.

Сила линейно зависит от переменной $x$, поэтому ее работа на участке от 0 до $d$ равна площади треугольника $A = \frac{F(d)d }{2} = Mg \frac{2d}{d} \frac{d}{2} Mgd$.

Подставляя это выражение в закон сохранения энергии (2), получаем скорость пластины 3 в момент касания пластины 1:

$\theta(d) = \sqrt{ \frac{2A}{M} } = \sqrt{ \frac{2Mgd}{M}} = \sqrt{2gd} м/с$.