Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6435
2018-02-25 
Проводник массы $m$ и длины $l$ подвешен за концы к диэлектрику с помощью двух одинаковых пружин общей жесткостью $k$. Проводник находится в однородном магнитном поле, индукция $\vec{B}$ которого перпендикулярна плоскости, в которой лежат проводник и пружины. Проводник сместили в вертикальной плоскости и отпустили. Определите частоту колебаний проводника в вертикальной плоскости, если к верхним концам пружин присоединен конденсатор емкостью $C$. Сопротивлением, собственной индуктивностью и емкостью проводников пренебречь.
Решение:
а) $B = 0$. Проводник колеблется в окрестности положения равновесия $kl = mg$, откуда $l = \frac{mg}{k}$. Уравнение движения проводника при этом имеет вид:
$ma = mg - kl^{ \prime} (l^{ \prime } = l + x ) \Rightarrow ma = mg - k(l + x) (kl = mg) \Rightarrow ma = - kx \Leftrightarrow a = - \frac{k}{m}x$,
чему соответствуют гармонические колебания с частотой $\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } с^{-1}$.
б) $B \neq 0$. В магнитном поле движущийся стержень создает ЭДС индукции $E_{i} = - \frac{ \Delta \Phi }{ \Delta t} = B \theta l$, в результате чего конденсатор заряжается до заряда $q = CE_{1} = CB \theta l$.
Если скорость движения стержня меняется, то меняются заряд и ЭДС индукции, в силу чего по цепи идет ток $I = \frac{ \Delta q}{ \Delta t} = CBl \frac{ \Delta \theta }{ \Delta t} = CBL a$, где $a$ - ускорение стержня. На стержень с током в магнитном поле действует сила Ампера $F = BIl = aB^{2}l^{2}C$. Нетрудно заметить, что сила $F$ всегда направлена к положению равновесия стержня. Тогда уравнение движения проводника имеет вид:
$ma = -kx - aB^{2}l^{2}C \Leftrightarrow (m + B^{2}l^{2}C)a = - kx \Leftrightarrow a = - \frac{k}{m + B^{2}l^{2}C } x$,
чему соответствуют гармонические колебания с частотой
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{k}{m + B^{2}l^{2}C } } с^{-1}$.
Проводник массы $m$ и длины $l$ подвешен за концы к диэлектрику с помощью двух одинаковых пружин общей жесткостью $k$. Проводник находится в однородном магнитном поле, индукция $\vec{B}$ которого перпендикулярна плоскости, в которой лежат проводник и пружины. Проводник сместили в вертикальной плоскости и отпустили. Определите частоту колебаний проводника в вертикальной плоскости, если к верхним концам пружин присоединен конденсатор емкостью $C$. Сопротивлением, собственной индуктивностью и емкостью проводников пренебречь.
Решение:
а) $B = 0$. Проводник колеблется в окрестности положения равновесия $kl = mg$, откуда $l = \frac{mg}{k}$. Уравнение движения проводника при этом имеет вид:
$ma = mg - kl^{ \prime} (l^{ \prime } = l + x ) \Rightarrow ma = mg - k(l + x) (kl = mg) \Rightarrow ma = - kx \Leftrightarrow a = - \frac{k}{m}x$,
чему соответствуют гармонические колебания с частотой $\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } с^{-1}$.
б) $B \neq 0$. В магнитном поле движущийся стержень создает ЭДС индукции $E_{i} = - \frac{ \Delta \Phi }{ \Delta t} = B \theta l$, в результате чего конденсатор заряжается до заряда $q = CE_{1} = CB \theta l$.
Если скорость движения стержня меняется, то меняются заряд и ЭДС индукции, в силу чего по цепи идет ток $I = \frac{ \Delta q}{ \Delta t} = CBl \frac{ \Delta \theta }{ \Delta t} = CBL a$, где $a$ - ускорение стержня. На стержень с током в магнитном поле действует сила Ампера $F = BIl = aB^{2}l^{2}C$. Нетрудно заметить, что сила $F$ всегда направлена к положению равновесия стержня. Тогда уравнение движения проводника имеет вид:
$ma = -kx - aB^{2}l^{2}C \Leftrightarrow (m + B^{2}l^{2}C)a = - kx \Leftrightarrow a = - \frac{k}{m + B^{2}l^{2}C } x$,
чему соответствуют гармонические колебания с частотой
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{k}{m + B^{2}l^{2}C } } с^{-1}$.
