Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6430
2018-02-25 
Пушка стоит в высшей точке склона с углом наклона к горизонту $\beta = 45^{ \circ}$. Заряд пушки содержит $m = 15,5 кг$ пороха. Масса снаряда равна $M = 446 кг$. Какова максимальная дальность полета снаряда вдоль склона, если КПД орудия $\eta = 28$%? Удельная теплота сгорания пороха $\lambda = 4,18 МДж/кг$. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Найдем начальную скорость снаряда: $\eta \lambda m = \frac{m \theta_{0}^{2} }{2}$, отсюда $\theta_{0}^{2} = \frac{2 \eta \lambda m}{M}$.
Направляя оси, как показано на рис., получим:
$x = \theta_{0} t \cos \alpha, y = y_{0} + \theta_{0} t \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2}$.
В точке падения $x = l \cos \beta, y = y_{0} - l \sin \beta$ так что в этой точке имеем:$l \cos \beta = \theta_{0} t \cos \alpha, y_{0} - l \sin \beta = y_{0} + \theta_{0} t \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2}$, где $t$ - время полета.
Выражая время полета из первого уравнения и подставляя во второе, получим: $l = \frac{2 \theta_{0}^{2} \cos \alpha \sin ( \alpha + \beta) }{g \cos^{2} \beta }$.
Подставляя угол $\beta = \frac{ \pi}{4}$ и воспользовавшись известным выражением для синуса суммы, получаем:
$l = \frac{2 \theta_{0}^{2} \cos \alpha \sin \left ( \alpha + \frac{ \pi}{4} \right ) }{g \cos^{2} \frac{ \pi}{4} } = \frac{2 \sqrt{2} \theta_{0}^{2} \cos \alpha ( \cos \alpha + \sin \alpha ) }{g}$.
Длина полета максимальна при выполнении условия экстремума $\frac{dl}{d \alpha } = 0$, откуда с использованием выражения для $l$ имеем:
$- \sin \alpha ( \cos \alpha + \sin \alpha ) + \cos \alpha (- \sin \alpha + \cos \alpha ) = 0$, или
$\cos^{2} \alpha - \sin^{2} - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0 \Rightarrow tg 2 \alpha = 1$, откуда $\alpha = \frac{ \pi}{8}$.
Подставляя это значение и выражение для начальной скорости в формулу для $l$, получим окончательно:
$l = 2 \frac{2 \eta \lambda m}{Mg} \frac{ \cos \frac{ \pi}{8} \sin \frac{3 \pi}{8} }{ \cos^{2} \frac{ \pi}{4} } \approx 27,5 км$.
Пушка стоит в высшей точке склона с углом наклона к горизонту $\beta = 45^{ \circ}$. Заряд пушки содержит $m = 15,5 кг$ пороха. Масса снаряда равна $M = 446 кг$. Какова максимальная дальность полета снаряда вдоль склона, если КПД орудия $\eta = 28$%? Удельная теплота сгорания пороха $\lambda = 4,18 МДж/кг$. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Найдем начальную скорость снаряда: $\eta \lambda m = \frac{m \theta_{0}^{2} }{2}$, отсюда $\theta_{0}^{2} = \frac{2 \eta \lambda m}{M}$.
Направляя оси, как показано на рис., получим:
$x = \theta_{0} t \cos \alpha, y = y_{0} + \theta_{0} t \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2}$.
В точке падения $x = l \cos \beta, y = y_{0} - l \sin \beta$ так что в этой точке имеем:$l \cos \beta = \theta_{0} t \cos \alpha, y_{0} - l \sin \beta = y_{0} + \theta_{0} t \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2}$, где $t$ - время полета.
Выражая время полета из первого уравнения и подставляя во второе, получим: $l = \frac{2 \theta_{0}^{2} \cos \alpha \sin ( \alpha + \beta) }{g \cos^{2} \beta }$.
Подставляя угол $\beta = \frac{ \pi}{4}$ и воспользовавшись известным выражением для синуса суммы, получаем:
$l = \frac{2 \theta_{0}^{2} \cos \alpha \sin \left ( \alpha + \frac{ \pi}{4} \right ) }{g \cos^{2} \frac{ \pi}{4} } = \frac{2 \sqrt{2} \theta_{0}^{2} \cos \alpha ( \cos \alpha + \sin \alpha ) }{g}$.
Длина полета максимальна при выполнении условия экстремума $\frac{dl}{d \alpha } = 0$, откуда с использованием выражения для $l$ имеем:
$- \sin \alpha ( \cos \alpha + \sin \alpha ) + \cos \alpha (- \sin \alpha + \cos \alpha ) = 0$, или
$\cos^{2} \alpha - \sin^{2} - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0 \Rightarrow tg 2 \alpha = 1$, откуда $\alpha = \frac{ \pi}{8}$.
Подставляя это значение и выражение для начальной скорости в формулу для $l$, получим окончательно:
$l = 2 \frac{2 \eta \lambda m}{Mg} \frac{ \cos \frac{ \pi}{8} \sin \frac{3 \pi}{8} }{ \cos^{2} \frac{ \pi}{4} } \approx 27,5 км$.
