Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 642
2014-06-01 
Для исследования свойств нелинейного резистора был произведен ряд экспериментов. Сначала была исследована зависимость сопротивления резистора от температуры. При повышении температуры до $T_{1} = 100^{\circ}C$ мгновенно происходил скачок сопротивления от значения $R_{1} = 50$ до $R_{2} = 100 Ом$; при охлаждении обратный скачок происходил при температуре $T_{2} = 99^{\circ}C$. Затем к резистору приложили постоянное напряжение $U_{1} =60 В$, при котором его температура оказалась равной $T_{3} = 80^{\circ}C$. Наконец, когда к резистору приложили постоянное напряжение $U_{2} = 80 В$, то в цепи возникли самопроизвольные колебания тока.
Температура воздуха в лаборатории постоянна и равна $T_{0} = 20^{\circ}C$. Теплоотдача от резистора пропорциональна разности температур резистора и окружающего воздуха, теплоемкость резистора $C = 3 Дж/К$.
Определите период $T$ этих колебаний, а также максимальное и минимальное значения силы тока.
Решение:
Обозначим коэффициент пропорциональности между рассеиваемой на резисторе мощностью и разностью температур резистора и окружающего воздуха через $\alpha$. Тогда, поскольку при $T_{3} = 80^{\circ}C$ сопротивление резистора равно $R_{1}$, а напряжение на нем $U_{1}$, то рассеиваемая мощность равна $U^{2}_{1} / R_{1}$ и мы можем записать, что
$U^{2}_{1}/R_{1} = \alpha (T_{3}-T_{0})$. (1)
При повышении приложенного напряжения температура резистора растет, так как увеличивается выделяемая при прохождении тока теплота. Когда температура достигнет величины $T_{1} = 100^{\circ}C$, сопротивление резистора скачком увеличится в два раза. Выделяемая на нем теплота уменьшится, и, если напряжение не очень велико, отвод теплоты окажется более быстрым, чем се выделение. Это приведет к падению температуры до $T_{2} = 99^{\circ}C$, но тогда сопротивление скачком уменьшится до прежней величины и процесс начнет повторяться. Таким образом в цепи возникнут колебания тока, связанные со скачкообразной зависимостью сопротивления резистора от температуры. Температура резистора во время этих колебаний почти постоянна (она изменяется в пределах от $T_{2} = 99^{\circ}C$ до $T_{1} = 100^{\circ}C$), так что можно считать теплоотвод постоянным, и отводимая мощность составляет $\alpha (T_{1} – T_{0})$. Тогда, вводя $t_{1}$ - время нагрева (от 99 до $100^{\circ}C$), $t_{2}$ - время охлаждения и $t_{1} + t_{2} = T$ - период колебаний, можно написать уравнения теплового баланса:
$U^{2}_{2}t_{1}/R_{1}= \alpha (T_{1}-T_{0})t_{1} + C (T_{1}-T_{2})$, (2)
$U^{2}_{2}t_{2}/R_{2}= \alpha (T_{1}-T_{0})t_{2} - C (T_{1}-T_{2})$.
Используя найденное из (1) значение $\alpha$, находим
$t_{1}=frac{C(T_{1}+T_{2})}{U^{2}_{2}/R_{1} – U^{2}_{1}(T_{1}-T_{0})/[R_{1}(T_{3}-T_{0})]}$,
$t_{2}=frac{C(T_{1}+T_{2})}{U^{2}_{1}(T_{1}-T_{0})/[R_{1}(T_{3}-T_{0})] – U^{2}_{2}/R_{2}}$.
Подставляя числовые значения величин, получаем, что $t_{1} = t_{2} = 3/32 с \approx 0,1 с$, а $T \approx 0,2 с$.
Максимальное и минимальное значения тока легко находим, так как в процессе колебаний сопротивление скачком изменяется от $R_{1} = 50$ до $R_{2} = 100 Ом$; следовательно,
$I_{max} = U_{2}/R_{1} = 1,6 А, I_{min} = U_{2}/R_{2} = 0,8 А$.
Хочется обратить внимание на тот факт, что описываемая в задаче ситуация отвечает фазовому переходу 1-го рода в материале, из которого сделан резистор. При нагревании при температуре $T_{1} = 100^{\circ}C$ происходит переход материала в новую фазу (этот переход, например, может быть связан с перестройкой кристаллической решетки материала резистора). Обратный переход происходит при более низкой температуре $T_{2} = 99^{\circ}C$ - это явление так называемого гистерезиса, свойственного фазовым переходам 1-го рода.
Для исследования свойств нелинейного резистора был произведен ряд экспериментов. Сначала была исследована зависимость сопротивления резистора от температуры. При повышении температуры до $T_{1} = 100^{\circ}C$ мгновенно происходил скачок сопротивления от значения $R_{1} = 50$ до $R_{2} = 100 Ом$; при охлаждении обратный скачок происходил при температуре $T_{2} = 99^{\circ}C$. Затем к резистору приложили постоянное напряжение $U_{1} =60 В$, при котором его температура оказалась равной $T_{3} = 80^{\circ}C$. Наконец, когда к резистору приложили постоянное напряжение $U_{2} = 80 В$, то в цепи возникли самопроизвольные колебания тока.
Температура воздуха в лаборатории постоянна и равна $T_{0} = 20^{\circ}C$. Теплоотдача от резистора пропорциональна разности температур резистора и окружающего воздуха, теплоемкость резистора $C = 3 Дж/К$.
Определите период $T$ этих колебаний, а также максимальное и минимальное значения силы тока.
Решение:
Обозначим коэффициент пропорциональности между рассеиваемой на резисторе мощностью и разностью температур резистора и окружающего воздуха через $\alpha$. Тогда, поскольку при $T_{3} = 80^{\circ}C$ сопротивление резистора равно $R_{1}$, а напряжение на нем $U_{1}$, то рассеиваемая мощность равна $U^{2}_{1} / R_{1}$ и мы можем записать, что
$U^{2}_{1}/R_{1} = \alpha (T_{3}-T_{0})$. (1)
При повышении приложенного напряжения температура резистора растет, так как увеличивается выделяемая при прохождении тока теплота. Когда температура достигнет величины $T_{1} = 100^{\circ}C$, сопротивление резистора скачком увеличится в два раза. Выделяемая на нем теплота уменьшится, и, если напряжение не очень велико, отвод теплоты окажется более быстрым, чем се выделение. Это приведет к падению температуры до $T_{2} = 99^{\circ}C$, но тогда сопротивление скачком уменьшится до прежней величины и процесс начнет повторяться. Таким образом в цепи возникнут колебания тока, связанные со скачкообразной зависимостью сопротивления резистора от температуры. Температура резистора во время этих колебаний почти постоянна (она изменяется в пределах от $T_{2} = 99^{\circ}C$ до $T_{1} = 100^{\circ}C$), так что можно считать теплоотвод постоянным, и отводимая мощность составляет $\alpha (T_{1} – T_{0})$. Тогда, вводя $t_{1}$ - время нагрева (от 99 до $100^{\circ}C$), $t_{2}$ - время охлаждения и $t_{1} + t_{2} = T$ - период колебаний, можно написать уравнения теплового баланса:
$U^{2}_{2}t_{1}/R_{1}= \alpha (T_{1}-T_{0})t_{1} + C (T_{1}-T_{2})$, (2)
$U^{2}_{2}t_{2}/R_{2}= \alpha (T_{1}-T_{0})t_{2} - C (T_{1}-T_{2})$.
Используя найденное из (1) значение $\alpha$, находим
$t_{1}=frac{C(T_{1}+T_{2})}{U^{2}_{2}/R_{1} – U^{2}_{1}(T_{1}-T_{0})/[R_{1}(T_{3}-T_{0})]}$,
$t_{2}=frac{C(T_{1}+T_{2})}{U^{2}_{1}(T_{1}-T_{0})/[R_{1}(T_{3}-T_{0})] – U^{2}_{2}/R_{2}}$.
Подставляя числовые значения величин, получаем, что $t_{1} = t_{2} = 3/32 с \approx 0,1 с$, а $T \approx 0,2 с$.
Максимальное и минимальное значения тока легко находим, так как в процессе колебаний сопротивление скачком изменяется от $R_{1} = 50$ до $R_{2} = 100 Ом$; следовательно,
$I_{max} = U_{2}/R_{1} = 1,6 А, I_{min} = U_{2}/R_{2} = 0,8 А$.
Хочется обратить внимание на тот факт, что описываемая в задаче ситуация отвечает фазовому переходу 1-го рода в материале, из которого сделан резистор. При нагревании при температуре $T_{1} = 100^{\circ}C$ происходит переход материала в новую фазу (этот переход, например, может быть связан с перестройкой кристаллической решетки материала резистора). Обратный переход происходит при более низкой температуре $T_{2} = 99^{\circ}C$ - это явление так называемого гистерезиса, свойственного фазовым переходам 1-го рода.
