Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6400
2018-02-24 
Стальной цилиндрический стержень длины $l$ и радиуса $r$ подвесили одним концом к потолку.
а) Найти энергию $U$ упругой деформации стержня.
б) Выразить $U$ через относительное удлинение стержня $\Delta l/l$.
Решение:
Когда стержень деформируется собственным весом, напряжение увеличивается по мере продвижения вверх, а сила растяжения - это масса части ниже рассматриваемого элемента.
Напряжение на элементе $dx$ равно
$\rho \pi r^{2} (l-x) g / \pi r^{2} = \rho g (l -x)$
Растяжение элемента равно
$\Delta dx = d \Delta x = \rho g (l - x) dx / E$
Интегрируя, $\Delta l = \frac{1}{2} \rho gl^{2}/E$ является растяжением всего стерженя. Упругая энергия элемента равна
$\frac{1}{2} \rho g (l - x) \frac{ \rho g ( l - x)}{E} \pi r^{2} dx$
Интегрируя
$\Delta U = \frac{1}{6} \pi r^{2} \rho^{2} g^{2} l^{3} / E = \frac{2}{3} \pi r^{2} lE \left ( \frac{ \Delta l}{l} \right )^{2}$
Стальной цилиндрический стержень длины $l$ и радиуса $r$ подвесили одним концом к потолку.
а) Найти энергию $U$ упругой деформации стержня.
б) Выразить $U$ через относительное удлинение стержня $\Delta l/l$.
Решение:
Когда стержень деформируется собственным весом, напряжение увеличивается по мере продвижения вверх, а сила растяжения - это масса части ниже рассматриваемого элемента.
Напряжение на элементе $dx$ равно
$\rho \pi r^{2} (l-x) g / \pi r^{2} = \rho g (l -x)$
Растяжение элемента равно
$\Delta dx = d \Delta x = \rho g (l - x) dx / E$
Интегрируя, $\Delta l = \frac{1}{2} \rho gl^{2}/E$ является растяжением всего стерженя. Упругая энергия элемента равна
$\frac{1}{2} \rho g (l - x) \frac{ \rho g ( l - x)}{E} \pi r^{2} dx$
Интегрируя
$\Delta U = \frac{1}{6} \pi r^{2} \rho^{2} g^{2} l^{3} / E = \frac{2}{3} \pi r^{2} lE \left ( \frac{ \Delta l}{l} \right )^{2}$
