Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6398
2018-02-24 
Однородное кольцо массы $m$, имеющее внешний радиус $r_{2}$, плотно насажено на вал радиуса $r_{1}$. Вал вращают с постоянным угловым ускорением $\beta$ вокруг его оси. Найти момент упругих сил в кольце в зависимости от расстояния $r$ до оси вращения.
Решение:
Рассмотрим элементарное кольцо ширины $dr$ на расстоянии $r$ от оси. На внешнюю часть кольца действует пара $N + \frac{dN}{dr} dr$, на внутренюю часть действует пара $N$ в противоположном направлении. В равновесии
$\frac{dN}{dr} dr = - dI \beta$
где $dI$ - момент инерции элементарного кольца, $\beta$ - угловое ускорение, знак минус необходим, так как пара $N(r)$ уменьшается с расстоянием, а на внешнем радиусе, $N(r_{2}) = 0$. Итак
$dI = \frac{m}{ \pi (r_{2}^{2} - r_{1}^{2})} 2 \pi rdr r^{2}$
таким образом $dN = \frac{2m \beta}{(r_{1}^{2} - r_{1}^{2})} r^{3} dr$
или, $N = \frac{1}{2} \frac{m \beta}{(r_{2}^{2} - r_{1}^{2})} (r_{2}^{4} - r^{4})$, при интегрировании
Однородное кольцо массы $m$, имеющее внешний радиус $r_{2}$, плотно насажено на вал радиуса $r_{1}$. Вал вращают с постоянным угловым ускорением $\beta$ вокруг его оси. Найти момент упругих сил в кольце в зависимости от расстояния $r$ до оси вращения.
Решение:
Рассмотрим элементарное кольцо ширины $dr$ на расстоянии $r$ от оси. На внешнюю часть кольца действует пара $N + \frac{dN}{dr} dr$, на внутренюю часть действует пара $N$ в противоположном направлении. В равновесии
$\frac{dN}{dr} dr = - dI \beta$
где $dI$ - момент инерции элементарного кольца, $\beta$ - угловое ускорение, знак минус необходим, так как пара $N(r)$ уменьшается с расстоянием, а на внешнем радиусе, $N(r_{2}) = 0$. Итак
$dI = \frac{m}{ \pi (r_{2}^{2} - r_{1}^{2})} 2 \pi rdr r^{2}$
таким образом $dN = \frac{2m \beta}{(r_{1}^{2} - r_{1}^{2})} r^{3} dr$
или, $N = \frac{1}{2} \frac{m \beta}{(r_{2}^{2} - r_{1}^{2})} (r_{2}^{4} - r^{4})$, при интегрировании
