Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6395
2018-02-24 
Установить связь между крутящим моментом $N$ и углом закручивания $\phi$ для:
а) трубы, у которой толщина стенок $\Delta r$ значительно меньше радиуса трубы;
б) сплошного стержня круглого сечения.
Предполагается, что их длина $l$, радиус $r$ и модуль сдвига $G$ известны.
Решение:
(a) Рассмотрим полый цилиндр длины $l$, внешним радиусом $r + \Delta r$ внутренним радиусом $r$, закрепленный одним концом и скрученный на другом с помощью пары моментов $N$. Угловое смещение $\phi$ на расстоянии $l$ от закрепленного конца, пропорционален $l$ и $N$. Рассмотрим элемент длины $dx$ на скрученном конце. Он переместился на угол $\phi$, как показано на рис. Вертикальное сечение также показано на рис., и скручивание параллелопипеда длины $l$ и площади $\Delta r dx$ под действием крутящейся пары может рассматриваться как элементарное. Если $f$ - тангенциальная сила, порожденная напряжением сдвига равно $f / \Delta r dx$ и должно равняться
$G \theta = G \frac{r \phi}{l}$, так как $\theta = \frac{r \phi}{l}$.
Следовательно, $f = G \Delta r dx \frac{r \phi}{l}$.
Сила $f$ имеет момент $fr$ относительно оси, поэтому полный момент равен
$N = G \Delta r \frac{ \phi}{l} r^{2} \int dx = \frac{2 \pi r^{3} \Delta r \phi}{l} G$
(б) Для твердого цилиндра мы должны интегрировать по $r$. Таким образом
$N = \int_{0}^{r} \frac{2 \pi r^{3} dr \phi G}{l} = \frac{ \pi r^{4} G \phi}{2l}$
Установить связь между крутящим моментом $N$ и углом закручивания $\phi$ для:
а) трубы, у которой толщина стенок $\Delta r$ значительно меньше радиуса трубы;
б) сплошного стержня круглого сечения.
Предполагается, что их длина $l$, радиус $r$ и модуль сдвига $G$ известны.
Решение:
(a) Рассмотрим полый цилиндр длины $l$, внешним радиусом $r + \Delta r$ внутренним радиусом $r$, закрепленный одним концом и скрученный на другом с помощью пары моментов $N$. Угловое смещение $\phi$ на расстоянии $l$ от закрепленного конца, пропорционален $l$ и $N$. Рассмотрим элемент длины $dx$ на скрученном конце. Он переместился на угол $\phi$, как показано на рис. Вертикальное сечение также показано на рис., и скручивание параллелопипеда длины $l$ и площади $\Delta r dx$ под действием крутящейся пары может рассматриваться как элементарное. Если $f$ - тангенциальная сила, порожденная напряжением сдвига равно $f / \Delta r dx$ и должно равняться
$G \theta = G \frac{r \phi}{l}$, так как $\theta = \frac{r \phi}{l}$.
Следовательно, $f = G \Delta r dx \frac{r \phi}{l}$.
Сила $f$ имеет момент $fr$ относительно оси, поэтому полный момент равен
$N = G \Delta r \frac{ \phi}{l} r^{2} \int dx = \frac{2 \pi r^{3} \Delta r \phi}{l} G$
(б) Для твердого цилиндра мы должны интегрировать по $r$. Таким образом
$N = \int_{0}^{r} \frac{2 \pi r^{3} dr \phi G}{l} = \frac{ \pi r^{4} G \phi}{2l}$
