Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6394
2018-02-24 
Стальная пластинка толщины $h$, имеет форму квадрата со стороной $l$, причем $h \ll l$. Пластинка жестко скреплена с вертикальной осью OO, которую вращают с постоянным угловым ускорением $\beta$ (рис.). Найти стрелу прогиба $\lambda$, считая изгиб малым.
Решение:
Отклонение пластины можно найти, обратившись к вращающейся система отсчета. В этой системе каждый элемент пластины испытывает псевдо-силу, пропорциональную его массе. Эти силы имеют изгибающий момент. Чтобы вычислить этот момент, заметим, что ускорение элемента на расстоянии $\xi$ от оси, равно $a = \xi \beta$, а момент сил, действующах на сечение между $x$ и $l$, равен
$N = \rho lh \beta \int_{x}^{l} \xi^{2} d \xi = \frac{1}{3} \rho lh \beta (l^{3} - x^{3})$.
Из фундаментального уравнения
$EI \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{1}{3} \rho lh \beta (l^{3} - h^{3})$.
Момент инерции $I = \int_{-h/2}^{+h/2} z^{2} l dz = \frac{lh^{3}}{12}$
Заметим, что нейтральной поверхностью (т.е. поверхность, содержащая линии, которые не растянуты и не сжаты) здесь является вертикальной плоскостью, а $z$ перпендикулярна ей.
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{4 \rho \beta}{Eh^{2}} (l^{3} - h^{3})$. Интегрируя
$\frac{dy}{dx} = \frac{4 \rho \beta}{Eh^{2}} \left ( l^{3}x - \frac{x^{4}}{4} \right ) + c_{1}$
Поскольку $\frac{dy}{dx} = 0$, для $x = 0, x_{1} = 0$. Интегрируя снова,
$y = \frac{4 \rho \beta}{Eh^{2}} \left ( \frac{l^{3}x^{2}}{2} - \frac{x^{5}}{20} \right ) + c_{2}$
$c_{2} = 0$, так как $y = 0$ при $x = 0$
Таким образом, $\lambda = y(x = l) = \frac{9 \rho \beta l^{5}}{5Eh^{2}}$
Стальная пластинка толщины $h$, имеет форму квадрата со стороной $l$, причем $h \ll l$. Пластинка жестко скреплена с вертикальной осью OO, которую вращают с постоянным угловым ускорением $\beta$ (рис.). Найти стрелу прогиба $\lambda$, считая изгиб малым.
Решение:
Отклонение пластины можно найти, обратившись к вращающейся система отсчета. В этой системе каждый элемент пластины испытывает псевдо-силу, пропорциональную его массе. Эти силы имеют изгибающий момент. Чтобы вычислить этот момент, заметим, что ускорение элемента на расстоянии $\xi$ от оси, равно $a = \xi \beta$, а момент сил, действующах на сечение между $x$ и $l$, равен
$N = \rho lh \beta \int_{x}^{l} \xi^{2} d \xi = \frac{1}{3} \rho lh \beta (l^{3} - x^{3})$.
Из фундаментального уравнения
$EI \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{1}{3} \rho lh \beta (l^{3} - h^{3})$.
Момент инерции $I = \int_{-h/2}^{+h/2} z^{2} l dz = \frac{lh^{3}}{12}$
Заметим, что нейтральной поверхностью (т.е. поверхность, содержащая линии, которые не растянуты и не сжаты) здесь является вертикальной плоскостью, а $z$ перпендикулярна ей.
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{4 \rho \beta}{Eh^{2}} (l^{3} - h^{3})$. Интегрируя
$\frac{dy}{dx} = \frac{4 \rho \beta}{Eh^{2}} \left ( l^{3}x - \frac{x^{4}}{4} \right ) + c_{1}$
Поскольку $\frac{dy}{dx} = 0$, для $x = 0, x_{1} = 0$. Интегрируя снова,
$y = \frac{4 \rho \beta}{Eh^{2}} \left ( \frac{l^{3}x^{2}}{2} - \frac{x^{5}}{20} \right ) + c_{2}$
$c_{2} = 0$, так как $y = 0$ при $x = 0$
Таким образом, $\lambda = y(x = l) = \frac{9 \rho \beta l^{5}}{5Eh^{2}}$
