Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6393
2018-02-24 
Стальная балка имеет прямоугольное сечение, высота которого равна $h$. Воспользовавшись уравнением из задачи 6391, найти стрелу прогиба $\lambda$, которая обусловлена собственным весом балки, в двух случаях:
а) балка вмонтирована одним концом в стену так, что длина ее выступающего конца равна $l$ (рис. а);
б) балка длины $2l$ своими концами свободно опирается на две опоры (рис. б).
Решение:
(a) В этом случае $N(x) = \frac{1}{2} \rho gbh(l - x)^{2}$, где $b$ = ширина балки.
Также $I = bh^{3} / 12$. Тогда,
$\frac{Ebh^{2}}{12} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{ \rho gbh}{2} (l^{2} - 2lx + x^{2})$.
Интегрируем, $\frac{dy}{dx} = \frac{6 \rho g}{Eh^{2}} \left ( l^{2}x - lx^{2} + \frac{x^{3}}{3} \right )$
используем $\frac{dy}{dx} = 0$ при $ x = 0$. Снова интегрируем
$y = \frac{6 \rho g}{Eh^{2}} \left ( \frac{l^{2}x^{2}}{2} - \frac{lx^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{12} \right )$
Таким образом, $\lambda = \frac{6 \rho gl^{4}}{Eh^{2}} \left ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{12} \right ) = \frac{6 \rho gl^{4}}{Eh^{2}} \frac{3}{12} = \frac{6 \rho gl^{4}}{2Eh^{2}}$
(б) Как и раньше, $EI \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = N(x)$, где $N(x)$ - изгибающий момент сечения PB. Этот изгибающий момент равен
$N = \int_{x}^{2l} w d \xi ( \xi - x) - wl (2l - x) = w \left ( 2l^{2} - 2xl + \frac{x^{2}}{2} \right ) - wl (2l - x) = w \left ( \frac{x^{2}}{2} - xl \right )$.
(Здесь $w = \rho gbh$ - вес балки на единицу длины)
Интегрируя, $EI \frac{dy}{dx} = w \left ( \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}l}{2} \right ) + c_{0}$
или поскольку $\frac{dy}{dx} = 0$ при $x = l, c_{0} = wl^{3}/3$
Интегрируя снова, $EIy = w \left ( \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{3}l}{6} \right ) + \frac{wl^{3}x}{3} + c_{1}$
Так как $y = 0$ при $x = 0, c_{1} = 0$. Отсюда находим
$\lambda = y(x = l) = \frac{ \frac{5wl^{4}}{24}}{EI} = \frac{5 \rho gl^{4}}{2Eh^{2}}$
Стальная балка имеет прямоугольное сечение, высота которого равна $h$. Воспользовавшись уравнением из задачи 6391, найти стрелу прогиба $\lambda$, которая обусловлена собственным весом балки, в двух случаях:
а) балка вмонтирована одним концом в стену так, что длина ее выступающего конца равна $l$ (рис. а);
б) балка длины $2l$ своими концами свободно опирается на две опоры (рис. б).
Решение:
(a) В этом случае $N(x) = \frac{1}{2} \rho gbh(l - x)^{2}$, где $b$ = ширина балки.
Также $I = bh^{3} / 12$. Тогда,
$\frac{Ebh^{2}}{12} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{ \rho gbh}{2} (l^{2} - 2lx + x^{2})$.
Интегрируем, $\frac{dy}{dx} = \frac{6 \rho g}{Eh^{2}} \left ( l^{2}x - lx^{2} + \frac{x^{3}}{3} \right )$
используем $\frac{dy}{dx} = 0$ при $ x = 0$. Снова интегрируем
$y = \frac{6 \rho g}{Eh^{2}} \left ( \frac{l^{2}x^{2}}{2} - \frac{lx^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{12} \right )$
Таким образом, $\lambda = \frac{6 \rho gl^{4}}{Eh^{2}} \left ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{12} \right ) = \frac{6 \rho gl^{4}}{Eh^{2}} \frac{3}{12} = \frac{6 \rho gl^{4}}{2Eh^{2}}$
(б) Как и раньше, $EI \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = N(x)$, где $N(x)$ - изгибающий момент сечения PB. Этот изгибающий момент равен
$N = \int_{x}^{2l} w d \xi ( \xi - x) - wl (2l - x) = w \left ( 2l^{2} - 2xl + \frac{x^{2}}{2} \right ) - wl (2l - x) = w \left ( \frac{x^{2}}{2} - xl \right )$.
(Здесь $w = \rho gbh$ - вес балки на единицу длины)
Интегрируя, $EI \frac{dy}{dx} = w \left ( \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}l}{2} \right ) + c_{0}$
или поскольку $\frac{dy}{dx} = 0$ при $x = l, c_{0} = wl^{3}/3$
Интегрируя снова, $EIy = w \left ( \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{3}l}{6} \right ) + \frac{wl^{3}x}{3} + c_{1}$
Так как $y = 0$ при $x = 0, c_{1} = 0$. Отсюда находим
$\lambda = y(x = l) = \frac{ \frac{5wl^{4}}{24}}{EI} = \frac{5 \rho gl^{4}}{2Eh^{2}}$
