ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-02-24   
Изгиб упругого стержня характеризуется формой упругой линии, проходящей через центры тяжести поперечных сечений стержня. Уравнение для определения этой линии при малых изгибах имеет вид

$N(x) = EI \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$,

где $N(x)$ — изгибающий момент упругих сил в сечении с координатой $x, E$ — модуль Юнга, $I$ — момент инерции поперечного сечения относительно оси, проходящей через нейтральный слой ($I = \int z^{2} dS$ рис.).

Пусть стальной стержень квадратного сечения со стороной $a$ вмонтирован одним концом в стенку так, что выступающий конец его имеет длину $l$ (рис.). Пренебрегая массой стержня, найти форму упругой линии и стрелу прогиба $\lambda$, если на его конец А действует:
а) изгибающий момент пары сил $N_{0}$;
б) сила $F$ направленная вдоль оси у.



Решение:



Используем уравнение приведенное в условии и при условии что y является малым

$\frac{1}{R} \approx \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$. Таким образом, $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{N(X)}{EI}$

(a) Здесь $N(x) = N_{0}$ - постоянная. Тогда интегрирование дает,

$\frac{dy}{dx} = \frac{N_{0}x}{EI} + C_{1}$

Но $\left ( \frac{dy}{dx} \right ) = 0$ для $x = 0$, $C_{1} = 0$. Интегрируя снова,

$y = \frac{N_{0}x^{2}}{2EI}$

где мы использовали $y = 0$ при $x = 0$, чтобы постоянная интегрирования была равна нулю. Это уравнение параболы. Прогиб свободного конца будет

$\lambda = y(x = l) = \frac{N_{0}l^{2}}{2EI}$

(б) В случае $N(x) = F(l - x)$, так как нагрузка $F$ уравновешивается аналогичной силой $F$, направленной вверх, и они составляют пару. Значит

$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{F(l - x)}{EI}$.

Интегрируя, $\frac{dy}{dx} = \frac{F(lx - x^{2}/2)}{EI} + C_{1}$
Как и раньше, $C_{1} = 0$. Интегрируя снова, используя $y = 0$ при $x = 0$

$y = \frac{F \left ( \frac{lx^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{6} \right )}{EI}$ здесь $\lambda = \frac{Fl^{3}}{3EI}$

Здесь для квадратного сечения

$I = \int_{-a/2}^{a/2} z^{2} adz = a^{4} / 12$.