Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6379
2018-02-24 
Осколком плоского зеркала А неправильной формы пускают солнечный зайчик в точки В и С на вертикальной стене (рис.). Зайчик в точке В оказывается круглым, а освещенность в его центре втрое больше, чем на участках стены, освещенных только рассеянным светом. Какова освещенность в центре зайчика, попавшего в точку С? Лучи SА, АВ и АС лежат в одной вертикальной плоскости, луч АВ горизонтален. $\angle SAB = \angle BAC =45^{ \circ}$.
Решение:
Раз зайчик круглый, значит, его форма определяется не формой зеркала, а формой Солнца, и, следовательно, освещенность в центре зайчика зависит от телесного угла, под которым из этой точки видно зеркало. Для точки В имеем $\Omega_{1} = (S / l_{1}^{2} ) \cos \alpha_{1}$. Пусть освещенность на стене вне зайчика равна $E_{0}$. Освещенность, создаваемая в точке В зайчиком,
$E_{B} = 3E_{0} - E_{0} = 2E_{0}, 2E_{0} = h \frac{S}{l_{1}^{2} } \cos \alpha_{1}$,
где $k$ - некоторый коэффициент пропорциональности, дающий, в частности, и правильную размерность. Для точки С имеем $\Omega_{2} = (S/l_{2}^{2}) \cos \alpha_{2}$. Освещенность, создаваемая зайчиком в точке С,
$E_{C} = k \frac{S}{l_{2}^{2} } \cos \alpha_{2} \cdot \cos \beta$, где $l_{1} = l_{2} \cos \beta, k = 2E_{0} \frac{l_{1}^{2} }{S \cos \alpha_{1} }$.
В итоге
$E_{C} = E_{0} \left [ 1 + 2 \left ( \frac{l_{1} }{l_{2} } \right )^{2} \frac{ \cos \alpha_{2}}{ \cos \alpha_{1} } \cos \beta \right ] = E_{0} \left ( 1 + 2 \frac{ \cos \alpha_{2} }{ \cos \alpha_{1} } \cos^{3} \beta \right )$.
По условию задачи $\beta = \pi/4, \alpha_{1} = \pi /8, \alpha_{2} = \pi/4$. Окончательно
$E_{C} = E_{0} \left [ 1 + \frac{1}{2 \cos ( \pi / 8) } \right ] \approx 1,5 E_{0}$.
Таким образом, изменение освещенности произошло по трем причинам: а) изменение расстояния от стены до зеркала (множитель $(l_{1}/l_{2})^{2}$); б) изменение угла падения лучей в центре зайчика (множитель $\cos \beta$); в) отличив угла между направлением от зеркала к центру зайчика и плоскостью зеркала от $90^{ \circ}$ (множитель $\cos \alpha_{2}/ \cos \alpha_{1}$).
Осколком плоского зеркала А неправильной формы пускают солнечный зайчик в точки В и С на вертикальной стене (рис.). Зайчик в точке В оказывается круглым, а освещенность в его центре втрое больше, чем на участках стены, освещенных только рассеянным светом. Какова освещенность в центре зайчика, попавшего в точку С? Лучи SА, АВ и АС лежат в одной вертикальной плоскости, луч АВ горизонтален. $\angle SAB = \angle BAC =45^{ \circ}$.
Решение:
Раз зайчик круглый, значит, его форма определяется не формой зеркала, а формой Солнца, и, следовательно, освещенность в центре зайчика зависит от телесного угла, под которым из этой точки видно зеркало. Для точки В имеем $\Omega_{1} = (S / l_{1}^{2} ) \cos \alpha_{1}$. Пусть освещенность на стене вне зайчика равна $E_{0}$. Освещенность, создаваемая в точке В зайчиком,
$E_{B} = 3E_{0} - E_{0} = 2E_{0}, 2E_{0} = h \frac{S}{l_{1}^{2} } \cos \alpha_{1}$,
где $k$ - некоторый коэффициент пропорциональности, дающий, в частности, и правильную размерность. Для точки С имеем $\Omega_{2} = (S/l_{2}^{2}) \cos \alpha_{2}$. Освещенность, создаваемая зайчиком в точке С,
$E_{C} = k \frac{S}{l_{2}^{2} } \cos \alpha_{2} \cdot \cos \beta$, где $l_{1} = l_{2} \cos \beta, k = 2E_{0} \frac{l_{1}^{2} }{S \cos \alpha_{1} }$.
В итоге
$E_{C} = E_{0} \left [ 1 + 2 \left ( \frac{l_{1} }{l_{2} } \right )^{2} \frac{ \cos \alpha_{2}}{ \cos \alpha_{1} } \cos \beta \right ] = E_{0} \left ( 1 + 2 \frac{ \cos \alpha_{2} }{ \cos \alpha_{1} } \cos^{3} \beta \right )$.
По условию задачи $\beta = \pi/4, \alpha_{1} = \pi /8, \alpha_{2} = \pi/4$. Окончательно
$E_{C} = E_{0} \left [ 1 + \frac{1}{2 \cos ( \pi / 8) } \right ] \approx 1,5 E_{0}$.
Таким образом, изменение освещенности произошло по трем причинам: а) изменение расстояния от стены до зеркала (множитель $(l_{1}/l_{2})^{2}$); б) изменение угла падения лучей в центре зайчика (множитель $\cos \beta$); в) отличив угла между направлением от зеркала к центру зайчика и плоскостью зеркала от $90^{ \circ}$ (множитель $\cos \alpha_{2}/ \cos \alpha_{1}$).
