ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-02-18   
Заряженный конденсатор емкости $C$ замкнут на катушку индуктивности $L$. Найти такую зависимость от времени емкости конденсатора, при котором ток в цепи нарастает прямо пропорционально времени.


Решение:


По закону Фарадея падение напряжения на катушке

$U_{L} = \Delta \Phi / \Delta t = L \Delta I/ \Delta t$.

Так как ток в цепи растет пропорционально времени, $U_{L}$ со временем не изменяется и в любой момент $U_{L} = LI/t$. Следовательно, и напряжение на конденсаторе, равное напряжению иа катушке, тоже остается постоянным:

$U_{C} = \frac{q_{0} }{C_{0} } = \frac{q_{0} - q }{C}$,

где $q_{0}$ - начальный заряд на конденсаторе, $q$ - заряд, ушедший с обкладок конденсатора за время $t, C$ - емкость конденсатора в момент $t$. Из равенства $LI/t = q_{0}/C_{0}$ находим ток:

$I = \frac{q_{0}t }{LC_{0} }$.

Тогда ушедший с конденсатора заряд

$q = I_{ср}t = \frac{I}{2} t = q_{0} \frac{t^{2} }{2LC_{0} } $.

Из условия постоянства напряжения на конденсаторе найдем емкость:

$C = C_{0} \frac{q_{0} - q }{q_{0} } = C_{0} \left ( 1 - \frac{t^{2} }{ 2LC_{0} } \right )$.

Ответ справедлив при условии, что $q < q_{0}$, т.е. при условии, что $t^{2} /2LC_{0} < 1$.