ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-02-18   
Маленький шарик массы $m$ подвешен на пружине жесткости $\xi$ и несет заряд $q$. В начальный момент шарик удерживают так, что пружина недеформирована. Под шариком на расстоянии $h$ лежит такой же шарик с зарядом $-q$ (рис.). Верхний шарик отпускают. При каком минимальном значении $q$ нижний шарик подпрыгнет?



Решение:


Нижний шарик подпрыгнет при условии $mg = q^{2}/4 \pi \epsilon_{0} l^{2}$, где $l$ —наименьшее расстояние между шариками при отпускании верхнего шарика. Закон сохранения энергии дает

$mgh - \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}h } = mgl - \frac{ q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}l } + \frac{ \xi (h - l)^{2} }{2}$,

т. е. с учетом условия $q^{2}/4 \pi \epsilon_{0} l^{2} = mg$ получаем

$l^{2} - \frac{2 \xi h^{2} }{ \xi h + 2mg } l + h^{2} \frac{ \xi h - 2mg}{ \xi h + 2mg } = 0$;

отсюда

$l_{1,2} = \frac{ \xi h^{2}}{ \xi h + 2mg } \pm \frac{2mgh}{ \xi h + 2mg }$.

Условию минимальности заряда удовлетворяет знак "—":

$l = h \frac{ \xi h - 2mg}{ \xi h + 2mg }$, откуда $q_{min} = \sqrt{ 4 \pi \epsilon_{0} mg } h \frac{ \xi h - 2mg}{ \xi h + 2mg }$.