Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 635
2014-06-01 
Два одинаковых теплоизолированных цилиндрических калориметра высоты $h = 75 см$ заполнены на 1/3. Первый - льдом, образовавшимся в результате замерзания налитой в него воды, второй - водой при $T_{в} = 10^{\circ}C$. Воду из второго калориметра переливают в первый, в результате чего он оказывается заполненным на 2/3. После того как температура в первом калориметре установилась, уровень заполнения его увеличился на $\Delta h = 0,5 см$. Плотность льда равна $\rho_{л} = 0,9 \rho_{в}$, удельная теплота плавления льда $\lambda = 340 кДж/кг$, удельная теплоемкость льда $c_{л} = 2,1 кДж/(кг \cdot К)$, удельная теплоемкость воды $c_{в} = 4,2 кДж/ (кг \cdot К)$.
Найти начальную температуру $T_{л}$ льда в первом калориметре.
Решение:
Если уровень заполнения калориметра после установления теплового равновесия повысился, это означает, что часть воды замерзла (при замерзании объем воды увеличивается). Между тем можно утверждать, что не вся вода замерзла - в противном случае ее объем увеличился бы в $\rho_{в}/\rho_{л} \approx 1,1$ раза, а уровень заполнения калориметра увеличился бы на $(h/3)(1,1 - 1) \approx 2,5 см$, тогда как по условию $\Delta h = 0,5 см$. Итак, приходим к выводу, что установившаяся температура в калориметре равна $0^{\circ}C$.
Используя это условие, запишем уравнение теплового баланса:
$c_{в}m_{в}(T_{в}-0^{\circ}C) = - \lambda \Delta m + c_{л} m_{л} (0^{\circ}C – T_{л})$, (1)
где $T_{л}$ - начальная температура льда, а $\Delta m$ - масса замерзшей воды. Как уже отмечалось, при замерзании объем увеличивается в $\rho_{в}/ \rho_{л}$ раз, значит.
$\Delta hS = (\rho_{в}/ \rho_{л} -1) \Delta m / \rho_{в}$, (2)
здесь $S$ - площадь поперечного сечения калориметра. Подставляя $\Delta m$ из (2) в (1) и используя соотношения $m_{в} =(h/3)\rho_{в}S ,m_{л}=(h/3)\rho_{л}S$,
получаем
$c_{в}S \frac{h}{3} \rho_{в} T_{в} = - \lambda S \Delta h \frac{\rho_{л} \rho_{в}}{\rho_{в} - \rho_{л}} – c_{л} \rho_{л} ST_{л} \frac{h}{3}$.
Отсюда
$T_{л}=- \frac{\lambda}{c_{л}} \frac{3 \Delta h}{h} \frac{\rho_{в}}{\rho_{в}-\rho_{л}} - \frac{c_{в}}{c_{л}} \frac{\rho_{в}}{\rho_{л}} T_{в} \approx -54^{\circ}C$.
Два одинаковых теплоизолированных цилиндрических калориметра высоты $h = 75 см$ заполнены на 1/3. Первый - льдом, образовавшимся в результате замерзания налитой в него воды, второй - водой при $T_{в} = 10^{\circ}C$. Воду из второго калориметра переливают в первый, в результате чего он оказывается заполненным на 2/3. После того как температура в первом калориметре установилась, уровень заполнения его увеличился на $\Delta h = 0,5 см$. Плотность льда равна $\rho_{л} = 0,9 \rho_{в}$, удельная теплота плавления льда $\lambda = 340 кДж/кг$, удельная теплоемкость льда $c_{л} = 2,1 кДж/(кг \cdot К)$, удельная теплоемкость воды $c_{в} = 4,2 кДж/ (кг \cdot К)$.
Найти начальную температуру $T_{л}$ льда в первом калориметре.
Решение:
Если уровень заполнения калориметра после установления теплового равновесия повысился, это означает, что часть воды замерзла (при замерзании объем воды увеличивается). Между тем можно утверждать, что не вся вода замерзла - в противном случае ее объем увеличился бы в $\rho_{в}/\rho_{л} \approx 1,1$ раза, а уровень заполнения калориметра увеличился бы на $(h/3)(1,1 - 1) \approx 2,5 см$, тогда как по условию $\Delta h = 0,5 см$. Итак, приходим к выводу, что установившаяся температура в калориметре равна $0^{\circ}C$.
Используя это условие, запишем уравнение теплового баланса:
$c_{в}m_{в}(T_{в}-0^{\circ}C) = - \lambda \Delta m + c_{л} m_{л} (0^{\circ}C – T_{л})$, (1)
где $T_{л}$ - начальная температура льда, а $\Delta m$ - масса замерзшей воды. Как уже отмечалось, при замерзании объем увеличивается в $\rho_{в}/ \rho_{л}$ раз, значит.
$\Delta hS = (\rho_{в}/ \rho_{л} -1) \Delta m / \rho_{в}$, (2)
здесь $S$ - площадь поперечного сечения калориметра. Подставляя $\Delta m$ из (2) в (1) и используя соотношения $m_{в} =(h/3)\rho_{в}S ,m_{л}=(h/3)\rho_{л}S$,
получаем
$c_{в}S \frac{h}{3} \rho_{в} T_{в} = - \lambda S \Delta h \frac{\rho_{л} \rho_{в}}{\rho_{в} - \rho_{л}} – c_{л} \rho_{л} ST_{л} \frac{h}{3}$.
Отсюда
$T_{л}=- \frac{\lambda}{c_{л}} \frac{3 \Delta h}{h} \frac{\rho_{в}}{\rho_{в}-\rho_{л}} - \frac{c_{в}}{c_{л}} \frac{\rho_{в}}{\rho_{л}} T_{в} \approx -54^{\circ}C$.
