Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6348
2018-02-18 
Два одинаковых шарика массы $m$, имеющие одинаковый заряд $q$, начинают скользить по двум одинаковым неподвижным и непроводящим спицам. Спицы расположены в вертикальной плоскости, причем каждая спица наклонена к горизонту под углом $\alpha$ (рис.). На какую максимальную высоту над первоначальным уровнем поднимутся шарики? В начальный момент шарики покоились и находились на расстоянии $L$ друг от друга и на расстоянии $l$ от концов спиц. Трением пренебречь.
Решение:
Шарики будут подниматься по спицам лишь при условии, что кулоновское отталкивание преобладает над силами тяжести, т. е. при
$\frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} L^{2} } > mg tg \alpha$.
Если шарики остановятся, не достигнув концов спиц, то из закона сохранения энергии
$\frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{L} - \frac{1}{ L + 2h ctg \alpha } \right ) = 2mgh$
находим максимальную высоту $h$:
$h = \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} mgL } - \frac{L}{2} tg \alpha$.
Этот результат справедлив при $h \leq \sin \alpha$, т. е. при
$\frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \leq mgL tg \alpha (L + 2l \cos \alpha)$.
В противном случае шарики соскользнут со спиц. Из закона сохранения энергии находим скорость шарика на конце спицы:
$2 \frac{mv^{2} }{2} = \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{L} - \frac{1}{L + 2l \cos \alpha } \right ) - 2mgl \sin \alpha$
Высота подъема определяется только вертикальной составляющей скорости шарика на конце спицы:
$h = l \sin \alpha + \frac{v^{2} \sin^{2} \alpha }{2g}$.
Таким образом,
при $q^{2} > 4 \pi \epsilon_{0} mgl tg \alpha (L+ 2l \cos \alpha)$
$h = l \sin \alpha \cos^{2} \alpha + \frac{q^{2}l \cos \alpha \sin^{2} \alpha }{4 \pi \epsilon_{0} mgL (L + 2l \cos \alpha) }$.
Два одинаковых шарика массы $m$, имеющие одинаковый заряд $q$, начинают скользить по двум одинаковым неподвижным и непроводящим спицам. Спицы расположены в вертикальной плоскости, причем каждая спица наклонена к горизонту под углом $\alpha$ (рис.). На какую максимальную высоту над первоначальным уровнем поднимутся шарики? В начальный момент шарики покоились и находились на расстоянии $L$ друг от друга и на расстоянии $l$ от концов спиц. Трением пренебречь.
Решение:
Шарики будут подниматься по спицам лишь при условии, что кулоновское отталкивание преобладает над силами тяжести, т. е. при
$\frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} L^{2} } > mg tg \alpha$.
Если шарики остановятся, не достигнув концов спиц, то из закона сохранения энергии
$\frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{L} - \frac{1}{ L + 2h ctg \alpha } \right ) = 2mgh$
находим максимальную высоту $h$:
$h = \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} mgL } - \frac{L}{2} tg \alpha$.
Этот результат справедлив при $h \leq \sin \alpha$, т. е. при
$\frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \leq mgL tg \alpha (L + 2l \cos \alpha)$.
В противном случае шарики соскользнут со спиц. Из закона сохранения энергии находим скорость шарика на конце спицы:
$2 \frac{mv^{2} }{2} = \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{L} - \frac{1}{L + 2l \cos \alpha } \right ) - 2mgl \sin \alpha$
Высота подъема определяется только вертикальной составляющей скорости шарика на конце спицы:
$h = l \sin \alpha + \frac{v^{2} \sin^{2} \alpha }{2g}$.
Таким образом,
при $q^{2} > 4 \pi \epsilon_{0} mgl tg \alpha (L+ 2l \cos \alpha)$
$h = l \sin \alpha \cos^{2} \alpha + \frac{q^{2}l \cos \alpha \sin^{2} \alpha }{4 \pi \epsilon_{0} mgL (L + 2l \cos \alpha) }$.
