Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6346
2018-02-18 
Две частицы масс $m_{1}$ и $m_{2}$, разноименно заряженные, движутся под влиянием взаимного электрического притяжения по окружности вокруг неподвижного центра масс. Скорость частицы массы $m_{1}$ мгновенно увеличивают в $n$ раз, не изменяя ее направления. При каком минимальном $n$ частицы разлетятся бесконечно далеко друг от друга? Заряды частиц равны по модулю.
Решение:
Введем расстояние между частицами $r$ и заряд каждой из них $q$ и $-q$. Частицы будут двигаться вокруг общего центра масс по окружностям с радиусами
$r_{1} = r \frac{m_{2}}{m_{2} + m_{1} }, r_{2} = r \frac{m_{1} }{m_{2} + m_{1} }$
и скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ такими, что
$m_{1}v_{1} = m_{2}v_{2}$,
На основании второго закона Ньютона
$\frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} } = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{r_{1} } = \frac{m_{1}(m_{2} + m_{1} )v_{1}^{2} }{m_{2}r }$; отсюда $\frac{q^{2} }{ 4 \pi \epsilon_{0} r } = \frac{m_{1} (m_{2} + m_{1} ) v_{1}^{2} }{m_{2} }$.
Пусть скорость одной частицы увеличили в $n$ раз. Тогда на основании закона сохранения импульса обе частицы будут продолжать двигаться даже при наименьшем $n$ с некоторой скоростью $u$ после удаления друг от друга на очень большое расстояние (их относительная скорость в этом случае равна нулю).
Закон сохранения импульса дает
$m_{1} (n - 1) v_{1} = (m_{2} + m_{1}) u$.
По закону сохранения энергии имеем
$- \frac{ q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r } + \frac{m_{1} n^{2} v_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2} }{2} = \frac{(m_{1} + m_{2})u^{2} }{2} $.
Подставляя в это уравнение $v_{2}, r$ и $u$ из предыдущих уравнений, получаем квадратное уравнение для $n$:
$n^{2} + \frac{2m_{1} }{m_{2} } n - \left [ \left ( \frac{m_{1} }{m_{2} } \right )^{2} + 4 \frac{m_{1} }{m_{2} } + 2 \right ] = 0$,
откуда
$n = \frac{m_{1} }{m_{2} } \left [ \sqrt{2} \left ( 1 + \frac{m_{2} }{m_{1} } \right ) - 1 \right ]$.
Ошибочным было бы рассмотрение движения частиц без учета движения центра масс.
Две частицы масс $m_{1}$ и $m_{2}$, разноименно заряженные, движутся под влиянием взаимного электрического притяжения по окружности вокруг неподвижного центра масс. Скорость частицы массы $m_{1}$ мгновенно увеличивают в $n$ раз, не изменяя ее направления. При каком минимальном $n$ частицы разлетятся бесконечно далеко друг от друга? Заряды частиц равны по модулю.
Решение:
Введем расстояние между частицами $r$ и заряд каждой из них $q$ и $-q$. Частицы будут двигаться вокруг общего центра масс по окружностям с радиусами
$r_{1} = r \frac{m_{2}}{m_{2} + m_{1} }, r_{2} = r \frac{m_{1} }{m_{2} + m_{1} }$
и скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ такими, что
$m_{1}v_{1} = m_{2}v_{2}$,
На основании второго закона Ньютона
$\frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} } = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{r_{1} } = \frac{m_{1}(m_{2} + m_{1} )v_{1}^{2} }{m_{2}r }$; отсюда $\frac{q^{2} }{ 4 \pi \epsilon_{0} r } = \frac{m_{1} (m_{2} + m_{1} ) v_{1}^{2} }{m_{2} }$.
Пусть скорость одной частицы увеличили в $n$ раз. Тогда на основании закона сохранения импульса обе частицы будут продолжать двигаться даже при наименьшем $n$ с некоторой скоростью $u$ после удаления друг от друга на очень большое расстояние (их относительная скорость в этом случае равна нулю).
Закон сохранения импульса дает
$m_{1} (n - 1) v_{1} = (m_{2} + m_{1}) u$.
По закону сохранения энергии имеем
$- \frac{ q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r } + \frac{m_{1} n^{2} v_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2} }{2} = \frac{(m_{1} + m_{2})u^{2} }{2} $.
Подставляя в это уравнение $v_{2}, r$ и $u$ из предыдущих уравнений, получаем квадратное уравнение для $n$:
$n^{2} + \frac{2m_{1} }{m_{2} } n - \left [ \left ( \frac{m_{1} }{m_{2} } \right )^{2} + 4 \frac{m_{1} }{m_{2} } + 2 \right ] = 0$,
откуда
$n = \frac{m_{1} }{m_{2} } \left [ \sqrt{2} \left ( 1 + \frac{m_{2} }{m_{1} } \right ) - 1 \right ]$.
Ошибочным было бы рассмотрение движения частиц без учета движения центра масс.
