Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6331
2018-02-17 
В запаянной с одного конца горизонтальной трубке сечения $S$ на расстоянии $l$ от запаянного конца находится поршень массы $m$. Другой конец трубки открыт, по обе стороны поршня — воздух, давление которого равно $p_{0}$. Трубку начинают вращать с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через запаянный конец трубки. На каком расстоянии от запаянного конца трубки будет находиться поршень? Температуру воздуха считать постоянной, трением пренебречь.
Решение:
Уравнение второго закона Ньютона для движения поршня по окружности:
$m \omega^{2} x = (p_{0} - p)S$.
Из закона Бойля—Мариопа имеем
$px = p_{0}l$,
где $p$ - давление между поршнем и запаянным концом вращающейся трубки; отсюда
$ \frac{m \omega^{2} }{p_{0}S } x^{2} - x + l = 0, x_{1,2} = \frac{p_{0}S }{2m \omega^{2} } \left [ 1 \pm \left ( 1 - \frac{4m \omega^{2}l }{p_{0}S } \right )^{1/2} \right ]$.
Очевидно, что должно выполняться условие $4m \omega^{2}l/p_{0}S < 1$, иначе поршень из трубки вылетит.
Для того чтобы выяснить, оба ли корня уравнения подходят, обратимся к рис, на котором изображены графики двух функций:
$y_{1} = \frac{m \omega^{2} }{p_{0}S } x^{2} + l, y_{2} = x$.
Пересечение этих графиков дает два корня $x_{1}$ и $x_{2}$ исследуемого квадратного уравнения. Нетрудно видеть, что корень $x_{1}$ соответствует неустойчивому положению равновесия поршня, а корень $x_{2}$ — устойчивому. Следовательно, нз физических соображений подходит лишь один корень, соответствующий знаку «—» в скобках. Таким образом,
$x = \frac{p_{0}S }{2m \omega^{2} } \left [ 1 - \left ( 1 - \frac{4 m \omega^{2} l }{p_{0}S } \right )^{1/2} \right ]$,
$x \approx = l \left ( 1 + \frac{m \omega^{2}l}{p_{0}S } \right )$ при $m \omega^{2} l \ll p_{0}S$.
В запаянной с одного конца горизонтальной трубке сечения $S$ на расстоянии $l$ от запаянного конца находится поршень массы $m$. Другой конец трубки открыт, по обе стороны поршня — воздух, давление которого равно $p_{0}$. Трубку начинают вращать с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через запаянный конец трубки. На каком расстоянии от запаянного конца трубки будет находиться поршень? Температуру воздуха считать постоянной, трением пренебречь.
Решение:
Уравнение второго закона Ньютона для движения поршня по окружности:
$m \omega^{2} x = (p_{0} - p)S$.
Из закона Бойля—Мариопа имеем
$px = p_{0}l$,
где $p$ - давление между поршнем и запаянным концом вращающейся трубки; отсюда
$ \frac{m \omega^{2} }{p_{0}S } x^{2} - x + l = 0, x_{1,2} = \frac{p_{0}S }{2m \omega^{2} } \left [ 1 \pm \left ( 1 - \frac{4m \omega^{2}l }{p_{0}S } \right )^{1/2} \right ]$.
Очевидно, что должно выполняться условие $4m \omega^{2}l/p_{0}S < 1$, иначе поршень из трубки вылетит.
Для того чтобы выяснить, оба ли корня уравнения подходят, обратимся к рис, на котором изображены графики двух функций:
$y_{1} = \frac{m \omega^{2} }{p_{0}S } x^{2} + l, y_{2} = x$.
Пересечение этих графиков дает два корня $x_{1}$ и $x_{2}$ исследуемого квадратного уравнения. Нетрудно видеть, что корень $x_{1}$ соответствует неустойчивому положению равновесия поршня, а корень $x_{2}$ — устойчивому. Следовательно, нз физических соображений подходит лишь один корень, соответствующий знаку «—» в скобках. Таким образом,
$x = \frac{p_{0}S }{2m \omega^{2} } \left [ 1 - \left ( 1 - \frac{4 m \omega^{2} l }{p_{0}S } \right )^{1/2} \right ]$,
$x \approx = l \left ( 1 + \frac{m \omega^{2}l}{p_{0}S } \right )$ при $m \omega^{2} l \ll p_{0}S$.
