Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6330
2018-02-17 
На крыше, наклоненной к горизонту под углом $\phi = 30^{ \circ}$, лежит свинцовый лист массы $m$. Коэффициент трения свинца о крышу $k=0,7$ ($k > tg \phi$). Длина листа при температуре $t_{1} = 10^{ \circ} С l = 1 м$. Считая, что температура листа в течение суток повышается, достигая наивысшего значения $t_{2} = 20^{ \circ} С$, а потом понижается до значения $t_{1}$, определить положение точек листа, неподвижных в течение суток при нагревании и при остывании. Найти расстояние, на которое сползет лист за $n = 30$ сут устойчивой погоды. Температурный коэффициент линейного расширения свинца $\alpha = 3 \cdot 10^{ - 5} К^{ -1}$.
Решение:
Так как лист удерживается на крыше силой трения, очевидно, что при его нагреве имеются точки листа, неподвижные относительно крыши. Обозначим расстояния от них до нижнего края листа $x_{0}$. При сжатии листа в процессе охлаждения будут неподвижными некоторые другие точки листа. Обозначим расстояния от этих точек до нижнего края листа $x_{0}^{ \prime}$.
При нагреве любая часть листа, расположенная ниже неподвижных точек, сползает вниз, а часть листа, расположенная выше, движется вверх. В результате этих движений на верхнюю часть листа действует сила трения
$f_{1} = kmg \frac{l - x_{0}}{l} \cos \phi$,
направленная вдоль крыши вниз, а на нижнюю часть листа действует сила трения
$f_{2} = kmg \frac{l - x_{0}}{l} \cos \phi$,
направленная вдоль крыши вверх. Имеется также составляющая силы тяжести $mg \sin \phi$, направленная вдоль листа вниз. Так как лист нагревается медленно и его части движутся с очень малой скоростью, то с высокой точностью можно предполагать, что лист в любой момент времени находится в равновесии. В частности, сумма сил, направленных вдоль крыши, равна нулю:
$- kmg \left ( 1 - \frac{x_{0} }{l} \right ) \cos \phi + kmg \frac{x_{0} }{l} \cos \phi - mg \sin \phi = 0$,
откуда
$x_{0} = l \frac{ \sin \phi + k \cos \phi}{2k \cos \phi }$.
Таким образом, при нагреве нижний край листа сместится относительно крыши на расстояние
$\Delta x_{0} = \frac{ \alpha l}{2k} (t_{2} - t_{1} ) \frac{ \sin \phi + k \cos \phi }{ \cos \phi}$.
При охлаждении размеры листа сокращаются, нижняя часть листа движется вдоль крыши вверх к неподвижным точкам, а верхняя — вниз. Это движение приводит к изменению знаков у сил трения. С учетом этого изменения получаса, что расстояние от неподвижных точек до нижнего края листа при охлаждении
$x_{0}^{ \prime} = \frac{l}{2k} \frac{ k \cos \phi - \sin \phi }{ \cos \phi}$,
т. е. нижний край листа поднимается при охлаждении на расстояние
$\Delta x_{0}^{ \prime} = \frac{ \alpha l}{2k} (t_{2} - t_{1} ) \frac{k \cos \phi - \sin \phi }{ \cos \phi}$.
За одни сутки изменение положения нижнего края листа
$\Delta l = \Delta x_{0} - \Delta x_{0}^{ \prime} = \frac{ \alpha l}{k} (t_{2} - t_{1} ) tg \phi$
За $n = 30$ сут устойчивой погоды смещение будет в $n$ раз больше:
$\Delta L = \frac{n \alpha l }{k} (t_{2} - t_{1}) tg \phi = 8 см$.
На крыше, наклоненной к горизонту под углом $\phi = 30^{ \circ}$, лежит свинцовый лист массы $m$. Коэффициент трения свинца о крышу $k=0,7$ ($k > tg \phi$). Длина листа при температуре $t_{1} = 10^{ \circ} С l = 1 м$. Считая, что температура листа в течение суток повышается, достигая наивысшего значения $t_{2} = 20^{ \circ} С$, а потом понижается до значения $t_{1}$, определить положение точек листа, неподвижных в течение суток при нагревании и при остывании. Найти расстояние, на которое сползет лист за $n = 30$ сут устойчивой погоды. Температурный коэффициент линейного расширения свинца $\alpha = 3 \cdot 10^{ - 5} К^{ -1}$.
Решение:
Так как лист удерживается на крыше силой трения, очевидно, что при его нагреве имеются точки листа, неподвижные относительно крыши. Обозначим расстояния от них до нижнего края листа $x_{0}$. При сжатии листа в процессе охлаждения будут неподвижными некоторые другие точки листа. Обозначим расстояния от этих точек до нижнего края листа $x_{0}^{ \prime}$.
При нагреве любая часть листа, расположенная ниже неподвижных точек, сползает вниз, а часть листа, расположенная выше, движется вверх. В результате этих движений на верхнюю часть листа действует сила трения
$f_{1} = kmg \frac{l - x_{0}}{l} \cos \phi$,
направленная вдоль крыши вниз, а на нижнюю часть листа действует сила трения
$f_{2} = kmg \frac{l - x_{0}}{l} \cos \phi$,
направленная вдоль крыши вверх. Имеется также составляющая силы тяжести $mg \sin \phi$, направленная вдоль листа вниз. Так как лист нагревается медленно и его части движутся с очень малой скоростью, то с высокой точностью можно предполагать, что лист в любой момент времени находится в равновесии. В частности, сумма сил, направленных вдоль крыши, равна нулю:
$- kmg \left ( 1 - \frac{x_{0} }{l} \right ) \cos \phi + kmg \frac{x_{0} }{l} \cos \phi - mg \sin \phi = 0$,
откуда
$x_{0} = l \frac{ \sin \phi + k \cos \phi}{2k \cos \phi }$.
Таким образом, при нагреве нижний край листа сместится относительно крыши на расстояние
$\Delta x_{0} = \frac{ \alpha l}{2k} (t_{2} - t_{1} ) \frac{ \sin \phi + k \cos \phi }{ \cos \phi}$.
При охлаждении размеры листа сокращаются, нижняя часть листа движется вдоль крыши вверх к неподвижным точкам, а верхняя — вниз. Это движение приводит к изменению знаков у сил трения. С учетом этого изменения получаса, что расстояние от неподвижных точек до нижнего края листа при охлаждении
$x_{0}^{ \prime} = \frac{l}{2k} \frac{ k \cos \phi - \sin \phi }{ \cos \phi}$,
т. е. нижний край листа поднимается при охлаждении на расстояние
$\Delta x_{0}^{ \prime} = \frac{ \alpha l}{2k} (t_{2} - t_{1} ) \frac{k \cos \phi - \sin \phi }{ \cos \phi}$.
За одни сутки изменение положения нижнего края листа
$\Delta l = \Delta x_{0} - \Delta x_{0}^{ \prime} = \frac{ \alpha l}{k} (t_{2} - t_{1} ) tg \phi$
За $n = 30$ сут устойчивой погоды смещение будет в $n$ раз больше:
$\Delta L = \frac{n \alpha l }{k} (t_{2} - t_{1}) tg \phi = 8 см$.
