Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6328
2018-02-15 
В короткой трубке переменного сечения поддерживается неизменное во времени течение вязкой несжимаемой жидкости плотности $\rho$. В сечениях I и II, площади которых равны $S_{1}$ и $S_{2}$ соответственно, скорость жидкости можно, считать постоянной по сечению. Найти силу, с которой жидкость действует на участок трубы между сечениями I и II, и количество теплоты, которое выделяется в единицу времени в объеме трубы между этими сечениями. Давление и скорость жидкости в сечении I равны $p_{1}$ и $v_{1}$; в сечении II давление равно $p_{2}$.
Решение:
Изменение импульса выделенного объема жидкости за малое время
$\rho S_{2}v_{2} \Delta t v_{2} - \rho S_{1}v_{1} \Delta t v_{1} = (S_{1}p_{1} - S_{2}p_{2} + F_{0} ) \Delta t$,
где $\rho S_{1} v_{1} \Delta t$ — масса жидкости, прошедшей через сечение $S_{1}$ за время $\Delta t$, $F_{0}$ - сила, с которой труба действует на жидкость. Искомая сила
$F = -F_{0}, F= -S_{1}p_{1} + S_{2}p_{2} - p(S_{1}v_{1}^{2} - S_{2}v_{2}^{2} )$,
$F = S_{2}p_{2} - S_{1}p_{1} - \rho S_{1}v_{1}^{2} (1 - S_{1}/S_{2})$.
Закон сохранения энергии для объема жидкости, протекшей за время $\Delta t$ между сечениями I и II, дает
$p_{1}S_{1}v_{1} \Delta t - p_{2}S_{2}v_{2} \Delta t = \frac{ \Delta m v_{2}^{2} }{2} - \frac{ \Delta m v_{1}^{2} }{2} + \Delta Q$.
Здесь в левой части уравнения — работа силы давления, произведенная над интересующим нас объемом жидкости, а в правой части - изменение кинетической энергии этого объема жидкости и количество теплоты, выделившееся между сечениями I и II за время $\Delta t$. Учитывая неразрывность течения жидкости, получаем
$\Delta m = \rho S_{1}v_{1} \Delta t = \rho S_{2}v_{2} \Delta t$
и, окончательно, количество теплоты, выделившееся в единицу времени
$\frac{ \Delta Q}{ \Delta t} = S_{1}v_{1} \left [ (p_{1} - p_{2} ) + \frac{ \rho v_{1}^{2} }{2} \left ( 1 - \frac{S_{1}^{2} }{S_{2}^{2} } \right ) \right ]$.
В короткой трубке переменного сечения поддерживается неизменное во времени течение вязкой несжимаемой жидкости плотности $\rho$. В сечениях I и II, площади которых равны $S_{1}$ и $S_{2}$ соответственно, скорость жидкости можно, считать постоянной по сечению. Найти силу, с которой жидкость действует на участок трубы между сечениями I и II, и количество теплоты, которое выделяется в единицу времени в объеме трубы между этими сечениями. Давление и скорость жидкости в сечении I равны $p_{1}$ и $v_{1}$; в сечении II давление равно $p_{2}$.
Решение:
Изменение импульса выделенного объема жидкости за малое время
$\rho S_{2}v_{2} \Delta t v_{2} - \rho S_{1}v_{1} \Delta t v_{1} = (S_{1}p_{1} - S_{2}p_{2} + F_{0} ) \Delta t$,
где $\rho S_{1} v_{1} \Delta t$ — масса жидкости, прошедшей через сечение $S_{1}$ за время $\Delta t$, $F_{0}$ - сила, с которой труба действует на жидкость. Искомая сила
$F = -F_{0}, F= -S_{1}p_{1} + S_{2}p_{2} - p(S_{1}v_{1}^{2} - S_{2}v_{2}^{2} )$,
$F = S_{2}p_{2} - S_{1}p_{1} - \rho S_{1}v_{1}^{2} (1 - S_{1}/S_{2})$.
Закон сохранения энергии для объема жидкости, протекшей за время $\Delta t$ между сечениями I и II, дает
$p_{1}S_{1}v_{1} \Delta t - p_{2}S_{2}v_{2} \Delta t = \frac{ \Delta m v_{2}^{2} }{2} - \frac{ \Delta m v_{1}^{2} }{2} + \Delta Q$.
Здесь в левой части уравнения — работа силы давления, произведенная над интересующим нас объемом жидкости, а в правой части - изменение кинетической энергии этого объема жидкости и количество теплоты, выделившееся между сечениями I и II за время $\Delta t$. Учитывая неразрывность течения жидкости, получаем
$\Delta m = \rho S_{1}v_{1} \Delta t = \rho S_{2}v_{2} \Delta t$
и, окончательно, количество теплоты, выделившееся в единицу времени
$\frac{ \Delta Q}{ \Delta t} = S_{1}v_{1} \left [ (p_{1} - p_{2} ) + \frac{ \rho v_{1}^{2} }{2} \left ( 1 - \frac{S_{1}^{2} }{S_{2}^{2} } \right ) \right ]$.
