Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6327
2018-02-15 
В вертикальной трубе радиуса $R$, заполненной жидкостью плотности $\rho_{1}$, вдоль оси трубы всплывает круглый стержень радиуса $r$ и длины $l$, причем $l \gg R$ (рис.). Плотность стержня $\rho_{2} < \rho_{1}$. Пренебрегая концевыми эффектами и трением, найти скорость и ускорение стержня в зависимости от пройденного расстояния $h$, если в начальный момент времени он покоился.
Решение:
Если стержень движется со скоростью $v$, то, так как жидкость несжимаема, она должна протекать в противоположную сторону между стержнем и стенками трубы со скоростью $u$, причем $S_{1}v = S_{2}u$, т. е.
$\pi r^{2}v = \pi ( R^{2} - r^{2} )u$; отсюда $u = vr^{2}/(R^{2} - r^{2})$.
Скорость жидкости и предполагается одинаковой всюду, кроме небольших участков около торцов стержня. Однако если длина цилиндра $l \gg r$, то вкладом этих участков в энергию системы можно пренебречь.
Из закона сохранения энергии при подъеме стержня на высоту $h$ следует
$\rho_{2} \pi r^{2} lv^{2} /2 + \rho_{1}з \pi( R^{2} - r^{2}) lu^{2}/2 = ( \rho_{1} - \rho_{2}) \pi r^{2}lgh$.
Таким образом,
$v = \left [ \frac{2gh(1 - \rho_{2} / \rho_{1} )}{ \rho_{2} / \rho_{1} + r^{2} / (R^{2} - r^{2} ) } \right ]^{1/2}, a = \frac{v^{2} }{2h} = \frac{g(1 - \rho_{2} / \rho_{1} ) }{ \rho_{2} / \rho_{1} + r^{2} / (R^{2} - r^{2} ) }$.
В вертикальной трубе радиуса $R$, заполненной жидкостью плотности $\rho_{1}$, вдоль оси трубы всплывает круглый стержень радиуса $r$ и длины $l$, причем $l \gg R$ (рис.). Плотность стержня $\rho_{2} < \rho_{1}$. Пренебрегая концевыми эффектами и трением, найти скорость и ускорение стержня в зависимости от пройденного расстояния $h$, если в начальный момент времени он покоился.
Решение:
Если стержень движется со скоростью $v$, то, так как жидкость несжимаема, она должна протекать в противоположную сторону между стержнем и стенками трубы со скоростью $u$, причем $S_{1}v = S_{2}u$, т. е.
$\pi r^{2}v = \pi ( R^{2} - r^{2} )u$; отсюда $u = vr^{2}/(R^{2} - r^{2})$.
Скорость жидкости и предполагается одинаковой всюду, кроме небольших участков около торцов стержня. Однако если длина цилиндра $l \gg r$, то вкладом этих участков в энергию системы можно пренебречь.
Из закона сохранения энергии при подъеме стержня на высоту $h$ следует
$\rho_{2} \pi r^{2} lv^{2} /2 + \rho_{1}з \pi( R^{2} - r^{2}) lu^{2}/2 = ( \rho_{1} - \rho_{2}) \pi r^{2}lgh$.
Таким образом,
$v = \left [ \frac{2gh(1 - \rho_{2} / \rho_{1} )}{ \rho_{2} / \rho_{1} + r^{2} / (R^{2} - r^{2} ) } \right ]^{1/2}, a = \frac{v^{2} }{2h} = \frac{g(1 - \rho_{2} / \rho_{1} ) }{ \rho_{2} / \rho_{1} + r^{2} / (R^{2} - r^{2} ) }$.
